何谓数学？数学的本质，以及浅谈对数学不值一提的攻击。

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/30 05:59pm 第 3 次编辑]

一、什么是数学？按照罗素的观点，并且考察现有数学的情况，那么数学本质就是一句话
       
         [color=#FF7F50]“若公理集合论为真，那么所有数学定理为真”
   
    所以数学从形式推导上来说，是一个条件命题，根本不关心我们的现实为何物，数学中有N维空间，我们这里有人看过3维以上的空间吗？
   但是，假如另外一个宇宙有一个地方存在N维空间，那么关于N维空间的所有命题都在那个世界成立。也就是，数学在想象可能存在的世界。
   那么这么说，有人反问：数学的研究对象是没有限制的吗？不是的，一个显著的要求是需要满足无矛盾性，也就是在下面A这句话里面，必须没有矛盾
  [color=#FF7F50]“若公理集合论为真，那么所有数学定理为真”  （A）
  很多人口口声声说推翻了数学，或者说什么和实践相矛盾，其实他们在说的是这句话
  “根据某人的实践断定某个数学定理为假”                 （B）
  先不说B的内容如何，一个最大的问题就是，那些攻击的人都在树立一个心目中假想的数学在攻击，而根本没攻击到真正的数学之上，为什么这么说？
  因为（A）是一个条件句，要想证明数学是错的，就需要证明这样一句话
 “若公理集合论为真，那么能推出一个命题既为真也为假”，这样才会彻底动摇数学的基础。
  而那些人怎么做的？
  无非是以下手法：“根据某某的实践，主观拟定一个数学概念，比如是点的概念，无穷的概念，反正这个概念和公理集合论的概念不一样，然后从这个与现有数学不同的概念出发，去推导出一个和现有数学不同的结论”
  这种手法，其实是在自耍自一套，根本和数学擦肩而过。
二、接下来，说一下实践和数学的问题，数学并不需要彻底屈从感性认识，但是自然界是天然的老师，会给数学发展以启示。
  也就是说
          1                  2
  实践------------>公理---------------->定理
        提炼，飞跃       严格的逻辑推导
  只有阶段2才是数学，而阶段1只是一种启发的来源而已。
  我们举例欧几里得几何和非欧几何的例子
                                3
   欧几里的公理(肯定平行公理)------------>欧几里得几何的大批定理
                                4
   非欧的公理（否定平行公理）------------->非欧几何的大批定理
   为什么我们说这两种几何都是数学，就是因为3，4两个过程是严密推导的过程，同时欧几里的公理内部之间是无矛盾的，非欧的公理的内部之间也是无矛盾的。
   至于，现实世界中的几何到底是符合欧几里的几何，还是非欧几何，这些不是数学家所关心的问题，这些是物理学家所需要测量判定的问题，假如经过精准的测量，发现平行公理更符合实践，那么我们就使用欧几里德几何，假如经过精准的测量，发现平行公理需要否定，那么我们就使用非欧几何，无非是两套武器而已。
三、再接下来，说说标准分析和非标准分析。
   非标的建立方法有很多种，为了便于比较，我采用GTM丛书中的《公理非标准分析》一书。
   我们看下面的图
              严密的逻辑推导
   ZFC公理-------------------->标准分析
                     严密的逻辑推导
   ZFC公理+IST公理论------------------->非标准分析
   从上面的图可以看出，非标原始的公理比ZFC的多，多的这几条叫做IST公理（想要了解，可以联系我），那么数学家是精心选择三条IST公理，使得
1.“ZFC公理+IST公理论”内部无矛盾
2.使得IST公理推出的结论能符合我们关于无穷小的一些原始直觉，当然不是完全符合，而是在逻辑允许的无矛盾范围内，尽可能符合。
   所以，标准分析的结论就是非标准分析的一个子集，也就是说标准分析的结论都是非标准分析的结论。我们在数学中，喜欢用直线来解释实数，现在到了非标准分析中，超实数集比实数集多了那么多元素，用平常的直线来解释超实数集，其实是不恰当的，因为谁也不可能真正的在平常的直线上去找到很多很多无穷大，只能想象。
   这就是，所谓的直观模型解释的缺乏，这并没有什么大惊小怪，在复数发明后，谁都看不懂1+i是什么东西，后来有个工程师，把1+i解释为平面一点，那么大家才感觉，比较实在了，否则就只能在逻辑中把握，在想象中把握。
数学中，缺乏直观模型的数学对象有很多，比如10维空间，超实数，处处连续处处不可微的函数，克莱恩瓶等等。在这些数学对象的理解中，逻辑是用来把握它们的唯一正确有效的工具。
四、扯点哲学上面的话题，现代西方分析哲学把科学知识分为两类，1类是逻辑和数学（把数学看成条件命题），2类是具体的实验科学，经验科学，观察总结得到的，比如物理学，化学，生物学。
    1类科学和2类科学是完全不同的，
    1类科学是在任何世界中都成立，而2类科学只在我们现存的世界中成立。
    也就是说：“逻辑命题A=A”，“若ZFC成立，则实数不可数”这样的命题是在任何世界中都成立的，注意“若ZFC成立，则实数不可数”是条件命题。
    而另外的命题“电子无大小”“光速不变”“氧气会助燃”等这些命题我们称为经验科学的命题，是根据我们的现实世界具体检测出来的，他们只在我们的现实世界中成立，也非常直接的依赖于观察实践。

ccmmjj

不错,是个真正懂得数学的同志.

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/31 00:27am 第 1 次编辑]

回楼上，我不算懂数学，数学的领域博大精深，我才了解很小的部分。现在不年轻了，感觉时间不多了。

申一言

不错吗?
当然不错!
是个真正懂得数学的同志吗?
当然是!

尚九天

下面引用由申一言在 2009/03/30 07:38pm 发表的内容：
不错吗?
当然不错!
是个真正懂得数学的同志吗?
当然是!

    申大师说：“是!”
                     ---- 自然是！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/30 08:54pm 第 1 次编辑]

楼主讲得很好！大家都应该来看一看。

ygq的马甲

而那些人怎么做的？
  无非是以下手法：“根据某某的实践，主观拟定一个数学概念，比如是点的概念，无穷的概念，反正这个概念和公理集合论的概念不一样，然后从这个与现有数学不同的概念出发，去推导出一个和现有数学不同的结论”
  这种手法，其实是在自耍自一套，根本和数学擦肩而过。

已经可以【确认】的 ID 包括[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
jzkyllcjl ()......曹俊云1 杨健辉2（1河南理工大学数信学院，2河南理工大学土木学院，河南焦作 454003）
顽石(任月扬)

申一言

   明灯高照本论坛,
   哥猜较好亦出现,
   数学中国更繁荣,
   中国数学更强健!-----强大和健康的!

ygq的马甲

四、扯点哲学上面的话题，现代西方分析哲学把科学知识分为两类，1类是逻辑和数学（把数学看成条件命题），2类是具体的实验科学，经验科学，观察总结得到的，比如物理学，化学，生物学。
   1类科学和2类科学是完全不同的，
   1类科学是在任何世界中都成立，而2类科学只在我们现存的世界中成立。
   也就是说：“逻辑命题A=A”，“若ZFC成立，则实数不可数”这样的命题是在任何世界中都成立的，注意“若ZFC成立，则实数不可数”是条件命题。
   而另外的命题“电子无大小”“光速不变”“氧气会助燃”等这些命题我们称为经验科学的命题，是根据我们的现实世界具体检测出来的，他们只在我们的现实世界中成立，也非常直接的依赖于观察实践。

按中国文化的说法，这里的“1类科学”是“形而上”领域，这里的“2类科学”是“形而下”领域

ygq的马甲

下面引用由tnjian在 2009/03/30 06:16pm 发表的内容：
回楼上，我不算懂数学，数学的领域博大精深，我才了解基础部分。

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=2&topic=330&show=25
这个基础题，能否【证明】出来？？？
贴子主题： [求助]【数学基础问题征解】康托尔连续统假设