（aa+bb）/（ab+1）=k∈N，求证k是完全平方数。

谢芝灵

（aa+bb）/（ab+1）=k∈N，a和b为正整数。求证[公式]是完全平方数。

天才思路：一秒钟，分母分子一般为互质。唯一可能分母分子有一个公因子2，得ab+1=2f，由f与分子互质又要k∈N，必是f=1。

我的证明：

取质数p，且 p│ab+1 （1）

得： p│aa+bb=k（ab+1）

得：p│aaaa+1+bbaa-1

得：p│aaaa+1

同理得：p│bbbb+1

得：p│bbbb+aaaa+2

得：p│bbbb-2aabb+aaaa+2+2aabb

得：p│2+2aabb=2（aabb+1）

（1）代上式解为：p│4，得：p=1，2

p=1与原式矛盾（因为分子分母互质，为分数，与k∈N 矛盾）。

p=2时，a，b同为偶与原式矛盾（因为分子分母互质，为分数，与k∈N 矛盾）；

a，b一个为偶与原式矛盾（因为分子分母互质，为分数，与k∈N 矛盾）。

得 a，b同为奇数。

取：a=2n-1 ；b=2m-1

aa+bb=4nn-4n+4mm-4m+2=2（2nn-2n+2mm-2m+1）

ab+1 =4nm-2n-2m+2=2（2nm-n-m+1）

因为p=2，又 （2nn-2n+2mm-2m+1）=奇，所以 （2nm-n-m+1）=奇。否则与k∈N 矛盾。证得：（aa+bb）与（ab+1）只有唯一一个公因子2

为保证k∈N得 2（2nm-n-m+1）=2，

解得 n=m=1，a=b=1，代入分子得：k=1

仅供高智商者观看。

谢芝灵

不用解方程，不用函数分析。仅用互质，用小学知识就轻松化解了一个 1988年IMO的第六题。

谢芝灵

这题题干看似简单，但是确实IMO历史上一道经典的难题。该题在赛前被主试委员会和一些数学家拿来挑战，均无功而返。当年全部参赛选手中一共只有11名选手拿到满分，著名数学家陶哲轩也参加了当届IMO，很遗憾的是Tao在这道题上只拿了1分。这道题最绝妙的解法源于保加利亚选手 Emanouil Atanassov他也因此获得了Special Award。