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在以 O(0,0),A(n^2,0),B(0,n) 为顶点的三角形三条边上和内部,各有几个格子点?

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发表于 2020-2-11 10:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
三角形的三頂點為 O(0,0),A(n^2,0),B(0,n)  請問有幾個格子點  , n 是自然數



OA 邊上有 (n^2 - 1) 個格子點,不含 O 和 A
OB 邊上有 (n - 1) 個格子點,不含 O 和 B
gcd(n^2,n) = n,AB 邊上有 (n - 1) 個格子點,不含 A 和 B


故三邊上有 (n^2 - 1) + (n - 1) + (n - 1) + 3 = (n^2 + 2n) 個格子點
內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點


所求 = (n^2 + 2n) + [(n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2] = (n^3 + n^2 + 2n + 2) / 2 個格子點


請問紅色是為什麼?

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发表于 2020-2-11 19:21 | 显示全部楼层


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謝謝陸老師  发表于 2020-3-21 21:44
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 楼主| 发表于 2020-2-11 21:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 wintex 于 2020-2-11 21:41 编辑


長方形內部扣掉對角線上的再砍一半 剛好是
(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2

一定對嘛?這句話怎麼想得?
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发表于 2020-2-12 20:01 | 显示全部楼层
wintex 发表于 2020-2-11 21:38
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半 剛好是
(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2


    因为长方形内部区域就是 2 个三角形内部区域再加上一条对角线(不包括两端),

所以一个三角形内部区域,就等于长方形内部区域减去对角线(不包括两端),再除以 2 。

    根据这一想法,三角形内部的格子点数就可以用下列方法求出:

         [(n-1)(n^2-1)-(n-1)]/2 = (n-1)(n^2-2)/2 。

    类似的想法,还可以直接用来计算三角形边上和内部的格子点总数。

    因为将 2 个三角形的三边和内部区域全部加在一起,等于一个长方形的四边和内部区域,再

加上一条长方形的对角线(包括两端),因为对角线重复加了两次。所以,一个三角形的三边和

内部的区域,等于长方形的四边和内部区域,加上一条对角线(包括两端),再除以 2 。

    根据这一想法,三角形三边和内部的格子点总数就可以用下列方法求出:

      [(n+1)(n^2+1)+(n+1)]/2 = (n+1)(n^2+2)/2 。


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謝謝陸老師  发表于 2020-2-13 02:10
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