单位圆圆周N等分的弦长乘积

图老师3

单位圆圆周N等分的弦长乘积

将一个单位圆分成6等分，如图1如图2，从一点连接到其它的所有点，总共得到5根弦，将这5根弦长全部相乘，发现结果居然是整数，而且等于等分数6；如果分成7等分，如图3把这6根弦长相乘，其结果等于等分数7；如果分成9等分，如图4把这8根弦长相乘，其结果等于等分数9。


如果将两个等分点中间插入一个点，如下红色点所示然后连接插入点与其他所有的点，如下图5，将得到的所有弦长全部相乘，结果等于圆的直径=2，增加圆上等分点数，在两个等分点中间插入一个点，所有的弦长相乘，结果仍然=2。

你能证明这个结论吗？

题目来源：@3Blue1Brown

提示：问题转化为求sin(pi/N)*sin(2pi/N)*sin(3pi/N)*...**sin((N-1)pi/N)=？

Nicolas2050

sin(pi/N)*sin(2pi/N)*sin(3pi/N)*...**sin((N-1)pi/N)=N/2^(N-1)

图老师3

解答；见附图。

图老师3

第二问解答：

图老师3

公式1见第一问结论；