可列集的幂集是可列集

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/10/03 05:55am 第 4 次编辑] 　　　　　　　　　可列集的幂集是可列集 　　证明：设自然数集N的任意自然数都是二进制的，对任意y∈N，则y可表示为： y=…y(n+1)y(n)y(n-1)…y(3)y(2)y(1) y(i)∈{0,1}(i=1,2,3,…,n,…) 　　即y(i)或者是1,或者是0(i=1,2,3,…,n,…)。如果所有的yi都为0，则y=0。如果y1=1,其余的y(i)都是0，则y=1,所有这样的y就构成了自然数集。 　　设可列集B={b(1),b(2),b(3),…}，其幂集为P(B)。 　　对任意x∈P(B)及b(j)，则b(j)或者∈x，或者不属于x(j=1,2,3,…,n,…)。所有这样的x就构成了P(B)。 　　作f(B)→N,x→f(x)=y，f: x为空集{ }时，y=1；若x非空，当b(i)∈x(i=1,2,3,4,…)时，y(i)=1，当b(i)不属于x(i=1,2,3,4,…)时，y(i)=0。 　　对f也可以作这样的叙述： 　　x为空集{ }时，a=1；x非空时，即x={b(i1),b(i2),…,b(ik)…}(i1,i2,…,ik,…∈N, i1

zhaolu48

　　对于这样一个重大的问题，为什么没有人评论呀！
　　如果认为有问题，请给予指正。
　　不管能否看出主帖有问题，至少对敢于挑战这样一个重大的历史性问题本身就应给予支持呀！

蓝戈

这两个证法我都见过，没有什么错误啊，我觉得这个在实分析里面有很详细的解答吧！评论什么啊？呵呵，我是刚加入的，不过看来这里的人都是或者老师或者研究生吧！

semigroup

这种排法好象实变函数有.

zhaolu48

一般的《实变函数论》及《近世代数》教材对这一敏感问题是不涉及的。
凡是涉及这一问题时，结论都与本帖是对立的。
也就是涉及这一问题时结论是这样的：
一个集合A的幂集(即它的所有子集构成的集合)与A不存在一一映射。
由此可得可列集的幂集不存在与自然数集的一一映射，从而得到的结论是：
可列集的幂集不可列。
认为是不可列，怎么会有是可列的证明呢？
蓝戈与semigroup二位网友不知是在哪本《实变函数》的书上看见的呢？
还请二位好好查查资料吧！

semigroup

我说的是这种排列的方法有哈,结论我不知道对不对哦.

zhaolu48

它证明了一个可列集A的幂集P(A)的势与A的势相等，即|P(A)|=|A|。 而一百多年来，都认为|A|<|P(A)|；这也是著名的康托连续统的假设。 难道这能说没有哈吗？

semigroup

有,这个是错的.无限可列集,不可数.

semigroup

证明有好几种,可以用反正,也可以构造f与小数到上对应,篇幅原因不打了哈.

semigroup

证明错误在于,他所构造的f(B)-N不是1-1的,只是到上而已.