[转帖]又一个不等式

ccmmjj · 发表于 2009-4-16 00:02

从数学研发论坛看到一个不等式,直觉告诉我,这个不等式的证明或证伪,绝不简单,恐怕与我前一贴的不等式有一定联系.它是若0=0

musicbug88 · 发表于 2010-1-5 00:27

这个不等式比较有意思，有人证明出来了吗？

musicbug88 · 发表于 2010-1-5 10:00

如果设 z=e^ix
发现这个数列和一个函数 ln(1/(1-z)) 的联系
ln(1/(1-z))=Sum(z^k/k,k=1..infty)
在不等式左边如果n值比较大可以用ln(1/(1-z))的虚部来近似左边的和

ccmmjj · 发表于 2010-1-5 16:04

没有人完全证明出来。

ccmmjj · 发表于 2010-1-6 11:30

下面引用由musicbug88在 2010/01/05 10:00am 发表的内容： 如果设 z=e^ix
发现这个数列和一个函数 ln(1/(1-z)) 的联系
ln(1/(1-z))=Sum(z^k/k,k=1..infty)
在不等式左边如果n值比较大可以用ln(1/(1-z))的虚部来近似左边的和

老兄竟然通晓复函数的幂级数展开式？可喜可贺，看来是同道中人。是在学的本科生还是研究生？还是毕业多年的同志偶入此论坛？不过题目中的n是任意的正整数，你的展开式恐怕没有太大的作用。

musicbug88 · 发表于 2010-1-6 11:51

是毕业10年的本科生，搞软件的。有时间我好好研究这个问题。形式上看这个不等式的左边是傅里叶级数的前n项。当n很大时，我用maple画[0,Pi]图，发现趋近于(Pi-x)/2

BlaisePascal · 发表于 2010-1-7 12:50

[这个贴子最后由BlaisePascal在 2010/01/21 03:07pm 第 1 次编辑]

-(i/2)*(Ln[(1 - e^(-ix))/(1 - e^(ix)])
右边的级数可由狄利克利判别法知其收敛。
用复

ccmmjj · 发表于 2010-1-7 16:06

下面引用由musicbug88在 2010/01/06 11:51am 发表的内容：
是毕业10年的本科生，搞软件的。有时间我好好研究这个问题。形式上看这个不等式的左边是傅里叶级数的前n项。当n很大时，我用maple画图，发现趋近于(Pi-x)/2

你的结论“趋近于(Pi-x)/2”实际上就是下图复平面上向量1-z的幅角的相反数。

elimqiu · 发表于 2010-1-20 06:16

{1/n} 单调， {sin nx} 部分和有界，试试 Abel 变换？

musicbug88 · 发表于 2010-1-20 10:34

我正在复习复变函数，用Taylor展开式应该可以搞定

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