已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围

永远

求助于陆老师，高二不等式

永远

老师晚上好，上面的分类讨论（1）（2）（3）具体怎么讨论的

Future_maths

永远

Future_maths 发表于 2020-2-14 09:02

先生早上好，我说的是按照1楼的那种分类讨论，原始的去绝对值方法，具体怎么讨论

Future_maths

永远 发表于 2020-2-14 09:09
先生早上好，我说的是按照1楼的那种分类讨论，原始的去绝对值方法，具体怎么讨论

那种方法不好。

luyuanhong

题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0＜x＜1 时，x+1＞0 ，所以 ｜x+1｜= x+1 ，所以

f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜＞x 就是 x+1-｜ax-1｜＞x ，也就是 ｜ax-1｜＜1 。

    从 ｜ax-1｜＜１ 可得 -1＜ax-1＜1 ，即 0＜ax＜2（当 0＜x＜1 时）。

    下面证明：a 的取值范围是 0＜a≤2 。

    假设 a≤0 ，则当 x = 1/2∈(0,1) 时，会有 ax = a/2≤0 ，与 ax＞0 矛盾，所以假设

不成立，必有 a＞0 。

    假设 a＞２ ，则当 x=2/a∈(0,1) 时，会有 ax = a·2/a = 2 ，与 ax＜2 矛盾，所以

这假设也不成立，必有 a≤2 。

    而当 0＜a≤2 ，0＜x＜1 时，显然必有 0＜ax＜2 。

    所以，a 的取值范围是 0＜a≤2 ，即 a∈(0,2] 。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-14 09:54
题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0 ...

陆老师早上好，我说的是按照1楼的那种分类讨论，原始的去绝对值方法，具体怎么讨论

Future_maths

没有考虑到a=2的情形，有点大意。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-14 09:54
题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0 ...

如果按照主贴的那种方法分类讨论，怎么求解

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-14 13:47
如果按照主贴的那种方法分类讨论，怎么求解

题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0＜x＜1 时，x+1＞0 ，所以 ｜x+1｜= x+1 ，所以

f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜＞x 就是 x+1-｜ax-1｜＞x ，也就是 ｜ax-1｜＜1 。

    下面分三种情况讨论：

（1）当 ax＞1 时，｜ax-1｜= ax-1＜1 ，即有 ax＜2 。

（2）当 ax = 1 时，｜ax-1｜= 0＜1 ，此式当然成立，没有什么用处。

（3）当 ax＜1 时，｜ax-1｜= -ax+1＜1 ，即有 ax＞0 。

    综合上面（1）（2）（3），可得 0＜ax＜2（当 0＜x＜1 时）。

    下面证明：a 的取值范围是 0＜a≤2 。

    假设 a≤0 ，则当 x = 1/2∈(0,1) 时，会有 ax = a/2≤0 ，与 ax＞0 矛盾，所以假设

不成立，必有 a＞0 。

    假设 a＞2 ，则当 x = 2/a∈(0,1) 时，会有 ax = a·2/a = 2 ，与 ax＜2 矛盾，所以

这假设也不成立，必有 a≤2 。

    而当 0＜a≤2 ，0＜x＜1 时，显然必有 0＜ax＜2 。

    所以，a 的取值范围是 0＜a≤2 ，即 a∈(0,2] 。