已知 f(x) 在 x=a 处有二阶导数，求 lim(x→a){[f(x)-f(a)]/(x-a)-f '(a)}/(x-a)

doletotodole · 发表于 2020-2-18 08:34

一道基础题,想了很久,就是想不透彻.

这个分子不就是等于0吗? 难道分子左边这个不是等于f'a?

难道不能等于,还相差一个无穷小量? 但是导数的定义是a点的导数是等于这个极限的, 不是吗?

求解惑, 谢谢.

doletotodole · 发表于 2020-2-18 08:38

那么, 0/x x趋于无穷, 0/x的极限是不是0?

Nicolas2050 · 发表于 2020-2-18 08:54

:lol

jzkyllcjl · 发表于 2020-2-18 09:19

你提出的极限是个不定式，随着函数的不同而不同。

elim · 发表于 2020-2-18 09:52

本帖最后由 elim 于 2020-2-17 20:17 编辑

从题设及罗必达法则知道, 原极限 =

顺便说说, jzkyllcjl 程度太差却自命不凡, 故每每自己打脸.

doletotodole · 发表于 2020-3-2 15:43

忽然间明白了, 就是极限如果要直接加减是有条件的, 就是分开后必须存在极限, 这题是不能直接分开加减的.

原来导数的表达式本身可以用泰勒展开, 得到除了导数之外的无穷多个项, 感觉就是dy/dx和表达式的实际值相差了一个2阶导的量加 2 阶导的无数个高阶无穷小量.

导数原来是一个近似值. 是否有导数可以表示为更精确的数值, 例如把2阶导也包括进去? 挺奇妙的.

elim · 发表于 2020-3-2 17:18

本帖最后由 elim 于 2020-3-3 12:10 编辑

doletotodole 发表于 2020-3-2 00:43
忽然间明白了, 就是极限如果要直接加减是有条件的, 就是分开后必须存在极限, 这题是不能直接分开加减的. ...

对原题被取极限的分式的分子分母同乘 x-a 就得到我的极限连等式的左边．所以接下来的运算结果是原极限的精确值而不是近似．

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