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本原勾股方程

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发表于 2020-2-19 18:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-16 21:49 编辑

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数,

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1,等式两边同时除以4,得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数,

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。



等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

若 2n -1 与 k 互素,

且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。



求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素,

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|,

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例:
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数,你能找到吗?


若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例:
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。



若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

 楼主| 发表于 2020-2-19 18:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-25 20:53 编辑


公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关,

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关,

设公共弦c中有t个4x+1型的素数,

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数,200年前的大数学家Euler 早已发现!


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 楼主| 发表于 2020-2-19 19:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-16 15:31 编辑

本原勾股数新公式

设 n为正整数,k为非负整数,

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
    b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
    c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)

则 a^2+b^2 =c^2


当 k=0 时,有 a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1.

当 k=1 时,有 a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4.


本原勾股数新公式

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素,

设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2


当 k=1 时,有 a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1.

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 楼主| 发表于 2020-2-19 20:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-23 14:06 编辑

设 68^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数,

则 (2*68)^2+(u-v)^2=(u+v)^2

由 68^2=u*v,
得 (u,v)=(4624,1) (2312,2) (1156,4) (578,8) (289,16) (272,17) (136,34)

(2*68)^2+(4624-1)^2=(4624+1)^2 (本原解)

(2*68)^2+(2312-2)^2=(2312+2)^2

(2*68)^2+(1156-4)^2=(1156+4)^2

(2*68)^2+(578-8)^2=(578+8)^2

(2*68)^2+(289-16)^2=(289+16)^2 (本原解)

(2*68)^2+(272-17)^2=(272+17)^2

(2*68)^2+(136-34)^2=(136+34)^2

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发表于 2020-2-19 21:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 wlc1 于 2020-2-21 13:58 编辑

一道小题,朱火华先生会做吗?

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数?

求不出:朱火华先生——丢人现眼!!


人们早已知道公共弦勾股数的解法,

用xxxxx2050 的口气:我干嘛要把解法告诉你,

就算你找到了公共弦勾股数的解法,

别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

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 楼主| 发表于 2020-2-20 06:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-16 21:51 编辑

罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,(m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数)

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中,E 就是著名的 Euler 函数。但,不是朱火华的公式。


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 楼主| 发表于 2020-2-20 06:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-28 19:09 编辑


有的是:股平方+勾平方= 弦平方,

朱火华先生提倡:勾股不分,a,b 不分,







分析:朱火华的奇数为勾全部解公式,

反例:x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2(15为股,8为勾)

朱明君先生何为勾,何为股都分不清,昏而不明,


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 楼主| 发表于 2020-2-20 10:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-23 14:14 编辑

设 75^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数,

则 75^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

由 75^2=u*v,
得 (u,v)=(5625,1) (1875,3) (1125,5) (625,9) (375,15) (225,25) (125,45)

75^2+[(5625-1)/2]^2=[(5625+1)/2]^2 (本原解)

75^2+[(1875-3)/2]^2=[(1875+3)/2]^2

75^2+[(1125-5)/2]^2=[(1125+5)/2]^2

75^2+[(625-9)/2]^2= [(625+9)/2]^2   (本原解)

75^2+[(375-15)/2]^2=[(375+15)/2]^2

75^2+[(225-25)/2]^2=[(225+25)/2]^2

75^2+[(125-45)/2]^2=[(125+45)/2]^2


设 2021^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数,

则 2021^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

由 2021^2=u*v,   
得 (u,v)=(4084441,1) (94987,43) (86903,47) (2209,1849)

2021^2+[(4084441-1)/2]^2=[(4084441+1)/2]^2 (本原解)

2021^2+[(94987 - 43)/2]^2=[(94987+43)/2]^2

2021^2+[(86903 - 47)/2]^2=[(86903+47)/2]^2

2021^2+[(2209 - 1849)/2]^2=[(2209+1849)/2]^2 (本原解)

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发表于 2020-2-21 08:09 | 显示全部楼层
wlc1 发表于 2020-2-20 23:42
一道小题,朱火华先生会做吗?

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数?

王守恩老师,庄严老师,蔡老师,程老师会做
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 楼主| 发表于 2020-2-21 12:25 | 显示全部楼层
设 2021^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数,

则 2021^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

由 2021^2=u*v,   
得 (u,v)=(4084441,1) (94987,43) (86903,47) (2209,1849)

2021^2+[(4084441-1)/2]^2=[(4084441+1)/2]^2

2021^2+[(94987 - 43)/2]^2=[(94987+43)/2]^2

2021^2+[(86903 - 47)/2]^2=[(86903+47)/2]^2

2021^2+[(2209 - 1849)/2]^2=[(2209+1849)/2]^2

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