本原勾股方程

Treenewbee

\[P_n=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^n-\left(1-\sqrt{2}\right)^n}{2 \sqrt{2}}\]

Treenewbee

\[S_{4k+1}=\frac{1}{2\sqrt2}*(\sum_{i=1}^{4k+1}{(1+\sqrt2)^i}-\sum_{i=1}^{4k+1}{(1-\sqrt2)^i})\]
\[=\frac14((1+\sqrt2)^{4k+2}+(1-\sqrt2)^{4k+2}-2)\]
\[=(\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}-(1-\sqrt2)^{2n+1}}{2})^2\]

蔡家雄

设：\(f_n\) 是兔子数列，

设：\(P_n=1, 4, 17, 72, 305, 1292, ...\)

则：\(P_n+P_{n+1}=f_{3n+2}\)

则：\(P_n+P_{n+2}=f_{3n+2}+f_{3n+4}\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-9 19:52
求 \(a^3+2ab+b^3=c^3\) 的部分解，，

{{19, 54, 55}, {79, 119, 130}, {150, 180, 210}, {324, 546, 582}, {444, 504, 600}, {576, 768, 864}}

蔡家雄

求 \(a^3+3ab+b^3=c^3\) 的部分解，，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-10 06:09
求 \(a^3+3ab+b^3=c^3\) 的部分解，，，

{{14, 24, 26}, {80, 84, 104}, {195, 275, 305}, {200, 360, 380}, {225, 270, 315}, {242, 308, 352}, {335, 357, 437}, {486, 819, 873}}

蔡家雄

设 \(2n\) 与 \(1+2k\) 互质，

求：\(x^{2n}+y^{2n+2+4k}=z^{2n+1+2k}\)

当 \(2n=24\) 与 \(1+2*2\) 互质时，

求：\(x^{24}+y^{24+2+8}=z^{24+1+4}\)

蔡家雄

设 \(2n\) 与 \(1+2k\) 互质，

求：\(x^{2n}+y^{2n+2+4k}=z^{2n+1+2k}\)

当 \(2n=24\) 与 \(1+2*3\) 互质时，

求：\(x^{24}+y^{24+2+12}=z^{24+1+6}\)

ysr

3^3+4^3+5^3=6^3
各项居然是连续的整数，类似的等式还又吗，成等差数列的也可以？

Treenewbee

ysr 发表于 2024-3-14 08:44
3^3+4^3+5^3=6^3
各项居然是连续的整数，类似的等式还又吗，成等差数列的也可以？

\[(n - k)^3 + n^3 + (n + k)^3 = (n + 2 k)^3\rightarrow(n-4 k) \left(n^2+k n+k^2\right)=0\rightarrow n=4k\]