用 Cauchy（柯西）不等式求下列函数的最小值：√[(x-2)^2+1^2]+√[(x-5)^2+2^2]

永远

用柯西不等式求下列函数的最值

永远

柯西不等式三角形式到底哪个是对的？有的说是上面，有的说是下面？

永远

还有就是：我现在不理解为什么柯西不等式三角形式证明过程中，ac+bd≤0，为什么不能≥0

波斯猫猫

三角形式的证明

√(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]

证明：[√(a2+b2)+√(c2+d2)]2=a2+b2+c2+d2+2·√(a2+b2)·√(c2+d2)

≥a2+b2+c2+d2+2|ac+bd|

≥a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)

=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2

=(a+c)2+(b+d)2 （当且仅当ad=bc时等号成立）

两边开根号即得 √(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]
在这里应用了不等式| x|≥x，即| ac+bd|≥ac+bd。

永远

波斯猫猫 发表于 2020-2-24 17:06
三角形式的证明

√(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]

其他的不谈，就谈那个去绝对值。|x|>=x，这个成立吗，|3|>=3，这不矛盾吗？？？？

波斯猫猫

永远 发表于 2020-2-24 16:48
还有就是：我现在不理解为什么柯西不等式三角形式证明过程中，ac+bd≤0，为什么不能≥0

百度百科有猫病。

波斯猫猫

用柯西不等式√(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]求解：√[(x-2)^2+1^2]+√[(x-5)^2+2^2] =
√[(x-2)^2+1^2]+√[(5-x)^2+2^2] ≥√[(3^2+3^2]=3√2（当且仅当（x-2）/（5-x）=1/2，即时x=3时，取得最小值）。

波斯猫猫

永远 发表于 2020-2-24 17:11
其他的不谈，就谈那个去绝对值。|x|>=x，这个成立吗，|3|>=3，这不矛盾吗？？？？

| x|≥x，即|x|>x或|x|=x，当x为负时取大于符号，当x为非负数时取等号。|3|>=3，即|3|>3或|3|=3（这是两个简单命题所构成的复合命题），根据逻辑联结词“或”，这里只有|3|=3成立。
看看数理逻辑用语就能解决问题。

luyuanhong

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