哥德巴赫猜想的证明

gaoshen2001

摘要
        本文要证明哥德巴赫猜想中关于每个充分大的偶数可以表示为两个素数之和。
证明的方法是：
        1）每个充分大的偶数里所包括的合数与这个偶数的比值称之为合数比，每个充分大的偶数里由合数之和等于这个偶数的数量与这个偶数的比值称之为合数和比；
        2）如果合数比减去合数和比少于50%，那么就证明存在两个素数之和等于这个偶数的组合，命题得以证明。

引言
               每个充分大的偶数（简称2S）一定有S个组合，这些组合相加等于2S，这些组合就是｛1+(2S-1)｝、｛2+(2S-2)｝、｛3+(2S-3)｝、｛4+(2S-4)｝……令两两相加为偶数2S。那么这些组合有三种情况，即合数+合数、合数+素数、素数+素数。
为方便理解证明过程，这里先作出如下定义：
        1） 在2S里所有合数的数量与2S的比为合数比，简称HB；
           2）所有合数+合数等于2S的组合数量与2S的比为合数和比，简称为H2B；
        3）所有素数+素数等于2S的组合数量与2S的比为素数和比，简称S2B；
        4）所有素数+合数等于2S的组合数量与2S的比为素合和比，简称HSB；
推理：
        1）H2B+HSB+S2B=50%；
        2）HB-2*H2B=HSB；
        3）所以，H2B+(HB-2*H2B)+S2B=50%，HB-H2B<50%。
        所以只要证明HB-H2B<50%，即可证明有素数+素数=偶数2S的组合。
引理
        一）所有自然数均可表示为6*N，6*N+1，6*N+2，6*N+3，6*N+4，6*N+5的其中一种方式，而6*N，6*N+2，6*N+3，6*N+4均全部为合数，只有6*N+1，6*N+5包含素数。

        二）所有偶数均可表示为6*N，6*N+2，6*N+4的其中一种方式，同时有：
        (6*N1+1)+(6*N2+1)=6N+2
        (6*N1+5)+(6*N2+5)=6N+4
        (6*N1+1)+(6*N2+5)=6N
        所以，只要分别证明以上三种方式中，存在HB-H2B<50%，命题即可被证明。

        三）6*N+1存在以下两种方式：
        （6*K+1）*(6*T+1)&#160;= 36*K*T+6*K+6*T+1
                                        = 6*(6*K*T+K+T)+1
        （6*K-1）*(6*T-1)&#160;= 36*K*T-6*K-6*T+1
                                        = 6*(6*K*T-K-T)+1
        推理得，当N=6*K*T+K+T或N=6*K*T-K-T时，6*N+1为合数，如果N不能按以上公式表示时，6*N+1为素数。
6*N+5存在以下方式：
        （6*K+1）*(6*T-1)&#160;= 36*K*T+6*K-6*T-1
                                        = 6*(6*K*T+K-T)-1
        （6*K-1）*(6*T+1)&#160;= 36*K*T-6*K+6*T-1
                                        = 6*(6*K*T-K+T)-1
        推理得，当N=6*K*T+K-T或N=6*K*T+K-T时，6*N-1为合数，如果N不能按以上公式表示时，6*N-1为素数。6*N-1是6*N+5的另一种表达方式。

        四）以上引理可以推理要证明每个充分大的偶数可以表示为两个素数之和，即证明6*N+2=(6*N1+1)+(6*N2+1)，其中存在6*N1+1，6*N2+1均为素数，N1N2均不能表示为6*K1*T1+K1+T1或6*K1*T1-K1-T1。如果证明在N中的合数比HB减去N1+N2=N为合数的组合H2B，小于50%，命题得证。
同理可以证明偶数6N，和6N+4。以下开始证明，首先证明2S为6N+2方式。
        a)因为N=6*K*T+K+T &#160;&#160;&#160;和&#160;N=6*K*T-K-T，6N+1为合数，
        当T=1时，得到数列N5,N7且
        N5=5*K-1 和N7=7*K+1
        当T=2时，得到数列N13,N11且
        N=11*K-2 和N=13*K+2
        ……
        即N=(6*T+1)*K+T &#160;&#160;&#160;和&#160;N=(6*T-1)*K-T，这些合数数列。
        1）对于数列N5=5*K-1，即｛4，9，14，……｝，可见平均每隔5个数字就必定有一个合数；
        2）对于数列N7=7K+1，即｛8，15，22，29，36……｝，分别为｛5*1+3，5*3，5*4+2，5*4+4，5*7+1，……｝，所以对于N7数列，可以        5N+3，5N，5N+2，5N+4，5N+1表示的方式并且循环出现，显然出现几率是平均的；
        3）与上面2）相同，大部分数列N11，N13，N17，N19，……等合数数列的数均可表达为，5N，5N+1，5N+2，5N+3，5N+4，而且出现的几率是平均的，这些称为一般合数数列。
        4）相对于一般合数数列就是特殊合数数列，如N35=35K-6，数列内所有的数字均被数列N5包含，所以可以忽略；对于任何数列NX，X=X1*X2，数列内的数字都被数列NX1包含，所以可以忽略。
        5）除数列N5外，所有一般数列里的数字，都包含的5N，5N+1，5N+2，5N+3，5N+4的表示方式的数字且显示顺序是循环出现，显示几率是平均的。
       
        b)合数比的再细分定义。
        对于任何充分大的数S可以表示为2M或2M+1，把S分成前后两个区间即Q1｛1……M｝和Q2｛M+1……2M｝，S1在Q1区间，S2在Q2区间；对于2M+1两个区间即Q1｛1……M+1｝Q2｛M+1……2M+1｝；因为S是充分大的数，所以实际上2M或2M+1可以差异不大，因此这里不分别再证明。
在Q1区间里合数比HB为P1，在Q2区间里合数比HB为P2。
在Q1区间里所有5N的数字的合数比为P10，在Q1区间里所有5N+1的数字的合数比为P11，在Q1区间里所有5N+2的数字的合数比为P12，在Q1区间里所有5N+3的数字的合数比为P13，在Q1区间里所有5N+4的数字的合数比为P14；因为所有5N+4的数字都是合数，所以P14=1/5；因为除N5数列外，其余一般数列的数字均平均有5N，5N+1，5N+2，5N+3，5N+4，而且是循环出现的，因为数S是充分大的，所以P10=P11=P12=P13=（P1-P14）/4=（5*P1-1）/20。
        在Q2区间里所有5N的数字的合数比为P20，在Q1区间里所有5N+1的数字的合数比为P21，在Q1区间里所有5N+2的数字的合数比为P22，在Q1区间里所有5N+3的数字的合数比为P23，在Q1区间里所有5N+4的数字的合数比为P24；因为所有5N+4的数字都是合数，所以P24=20%；与P10，P11，P12，P13同理，P20=P21=P22=P23=（P2-P24）/4=（5*P2-1）/20。

        c)合数和比的计算
        1）当S表示5N+3时，且S1+S2=S，S1和S2有以下五种组合方式：
        A1)S1为5N+4，S2为5N+4
        A2)S1为5N，S2为5N+3
        A3)S1为5N+1，S2为5N+2
        A4)S1为5N+2，S2为5N+1
        A5)S1为5N+3，S2为5N
        对于A1方式，合数和比H2B1=P14/2=10%；
        对于A2方式，合数和比H2B2=5*P10*5*P23/(5*2)
                                                        =(5*P10*P23)/2；
        对于A3方式，合数和比H2B3=5*P11*5*P22/(5*2)，因为P11=P10，P23=P22，所以H2B2=H2B3；同理可得A4、A5方式的合数和比                         H2B3=H2B4=H2B2；
        所以总合数和比
        H2B=H2B1+4*H2B2
                =1/10+4*(5*P10*P23)/2
                =1/10+4*(5*((5*P1-1)/20)*((5*P2-1)/20))/2
                =(1+(5*P1-1)*(5*P2-1)/4)/10
                =(25*P1*P2-5*P1-5*P2+5)/40
                =(5*P1*P2-P1-P2+1)/8

        2）当S表示5N时，S1+S2=S有以下五种方式：
        A1)S1为5N+1，S2为5N+4
        A2)S1为5N+4，S2为5N+1
        A3)S1为5N，S2为5N
        A4)S1为5N+2，S2为5N+3
        A5)S1为5N+3，S2为5N+2
        对于A1方式，合数和比H2B1=(5*P11*5*P24)/(5*2)
                                                =(5*P11*P24)/2；
        对于A2方式，合数和比H2B2=(5*P14*5*P21)/(5*2)
                                                =(5*P14*P21)/2；
        对于A3方式，合数和比H2B3=(5*P10*5*P20)/(5*2)
                                                =(5*P10*P20)/2；
        对于A4方式，合数和比H2B4=(5*P12*5*P23)/(5*2)，因为P12=P10，P23=P20，所以H2B3=H2B4；同理可得A5方式的合数和比H2B5=H2B3；
        所以合数和比
        H2B=H2B1+H2B2+3*H2B3
                =(5*P11*P24)/2+(5*P14*P21)/2+3*(5*P10*P20)/2
                =(5*P1-1)/40+(5*P2-1)/40+3*(5*((5*P1-1)/20)*((5*P2-1)/20))/2
                =(20*P1-4+20*P2-4+3*(25*P1*P2-5*P1-5*P2+1))/160
                =(75*P1*P2+5*P1+5*P2-5)/160
                =(15*P1*P2+P1+P2-1)/32
       
        3）当S表示5N+1时，S1+S2=S有以下五种方式：
        A1)S1为5N+2，S2为5N+4
        A2)S1为5N+4，S2为5N+2
        A3)S1为5N，S2为5N+1
        A4)S1为5N+1，S2为5N
        A5)S1为5N+3，S2为5N+3
        与2）对比可得合数和比与2）相同，同理S表示5N+2，5N+3时合数和比与2）相同。

        d)合数比减合数和比的计算
        1）在c)中1）
        HB-H2B=(P1+P2)/2-(5*P1*P2-P1-P2+1)/8
                =(5*P1+5*P2-5*P1*P2-1)/8
                =(4-5*(1-P1)*(1-P2))/8
        因为P1、P2小于1，所以HB-H2B<50%。
        2）在c)中2）
        HB-H2B=(P1+P2)/2-(15*P1*P2+*P1+P2-1)/32
                =(1+15P1+15P2-15*P1*P2)/32
                =(16-15*(1-P1)*(1-P2))/32
        因为P1、P2小于1，所以HB-H2B<50%。
        通过以上证明可得，当S为6*N+2的偶数时，合数+合数等于S和合数+素数等于S的组合小于50%，即必定存在素数+素数等于S的组合。

        二）第二证明偶数S可以6N+4表示，有N=N1+N2，存在6*N1-1和6*N2-1为素数。这个证明过程和一）类似
        a)因为N=6*K*T+K-T &#160;&#160;&#160;和&#160;N=6*K*T-K+T，6N-1为合数，
        当T=1时，得到数列N7,N5且
        N7=7*K-1 &#160;&#160;&#160;和&#160;N5=5*K+1
        当T=2时，得到数列N13,N11且
        N=13*K-2 &#160;&#160;&#160;和&#160;N=11*K+2
        ……
        即N=(6*T+1)*K-T &#160;&#160;&#160;和&#160;N=(6*T-1)*K+T，这些合数数列。
        1）对于数列N5=5*K-1，即｛6，11，16，……｝可得平均每5个连续的就有一个合数；
        2）对于数列N7=7K-1，即｛6，13，20，27，34……｝，分别为｛5*1+1，5*2+3，5*4，5*5+2，5*6+4，……｝，所以对于N7数列，可以5N+1，5N+3，5N，5N+2，5N+4表示的方式并且循环出现，显然出现几率是平均的；
        3）与上面2）相同，大部分数列N11，N13，N17，N19，……等合数数列的数均可表达为，5N，5N+1，5N+2，5N+3，5N+4，而且出现的几率是平均的，这些称为一般数列。
        4）特殊数列，如N35=35K-6，数列内所有的数字均被数列N5包含，所以可以忽略；如N25=25K+4，数列内所有的数字均被数列N7包含，所以可以忽略；对于任何数列NX，X=X1*X2，数列内的数字都被数列NX1包含，所以可以忽略。
        5）除数列N5外，所有一般数列里的数字，都包含的5N，5N+1，5N+2，5N+3，5N+4的表示方式的数字且显示顺序是循环出现，显示几率是平均的。
        以后的证明过程和一）类似

        三）第三证明偶数S可以6N表示，有N=N1+N2，存在6*N1+1和6*N2-1为素数，或者6*N1-1和6*N2+1为素数。这个证明过程在一）和二）的类似。
        只是在Q1区间里合数比HSB为对于6N+1对应为P1，对于6N-1对应为P3；在Q2区间里合数比HSB对于6N-1对应为P2，对于6N-1对应为P4。然后分别计算即得。对于6N的情况，实际上6N+1和6N-1两类素数相互组合，所以组合数量比之前两种要增加一倍。

        以上就是关于哥德巴赫猜想的每个充分大的偶数可以表示为两个素数之和的证明过程。因本人学识有限，各位有兴趣研究的朋友对这个证明过程尚有疑惑之处，欢迎指出讨论！