[部分原创]旧文:关于分拆--陆教授,白新岭有请了

ccmmjj

曾看到陆教授,白新岭关于分拆的讨论,我说曾有一篇旧文,有时间贴出来.我的旧文虽不说浩如烟海,却也堆如垃圾,好容易找出来,却发现自己都快看不懂了.女人怕年老色衰,我却怕年老智障,好不容易整理出来,上传了.
定理1有很多证明,众所周知,所以省略.
推论2的证明类同于推论1,所以省略.

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/09/26 11:47am 第 2 次编辑] 下面的连接是zhaolu48发的帖子，里边有关于定理1的分析论证。

ccmmjj

白新岭

ccmmjj先生好，我以前并不了解整数分拆方面知识，只是对m个不同自然数和的分布感兴趣，从不念高中一直到今天。从2004年自己会了用电脑以后，才有了进展。我的帖子大部分与m个不同自然数和的分布有关，与排列组合自然有关。最近因为对歌猜感兴趣，也提出了些限定条件下方程解的组数问题。与林梦启讨论这类问题最多。
下面是我的分析理解。
楼主如果证明了定理1，推论1当然对，也能理解。(用变量代换，原是可以取0的，用yi=xi-1,自然x1最小值是1了).
如果不用定理1，直接证明推论1或许更容易理解，通俗易懂。
我们把n个物体排成一排，然后拿r-1块木板放在任意两个物体之间（有n-1个空隙），则把n个物体分成有序的r段，分别让x1,x2,....,xr对应着第一段，第二段，....，第r段，分段方法数目与方程的正整数解的组数相同（形成一一对应关系）。
如果用这种方法证明定理1也是可以的，可分别把n个物体分成有序的1段，2段，...，r段（这样同时也把问题分成了r种情况），然后在r个位置上，分别抽取r-1个位置，r-2个位置，....，0个位置。前后方法属于分步关系，相乘。这样有二项式展开系数同次项系数相等可得到r种的方法和。

白新岭

同理可以这样分析，推论2.我们从中拿出1，2，3，...，r，则它们的和为：r*(r+1)/2.  n去掉r*(r+1)/2后，从新求非负整数解则有：C(n-r*(r+1)/2+r-1,r-1)=C(n-r(r-1)/2-1,n-r(r+1)/2).然后把1，2，3，....，r对应的放在x1,x2,x3,....,xi上，就可以满足条件，使第i项不小于i.

白新岭

从ccmmjj发的主贴可以看出，楼主对整数分拆，更确切的说是组合问题吃得很透，在此基础上研究一下x+y+z=n正整数解的组数如何，这里x,y,z不能整除2，3，5，7.如果难了，可以去掉7.不行再去也无妨，道理一样。容易可以加条件11，13，...，等素数，或者加元，道理还是一样。不过，元多了，或者条件多了，计算量很大，n分的类别也很多，无法简单给出来。目的是了解此类问题处理方法。吃透了，对理解歌猜有一定的帮助。祝你好梦成真。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/05/24 04:54pm 第 1 次编辑]

对于推论3，x1+x2+x3+.....+xr≤n的非负整数解的组数。即x1+x2+x3+.....+xr的值从1到n的全部非负整数解的组数。有定理1，是∑[C(i+r-1,r-1)],i从1到n.
用∑[（1+x)^(i+r-1)],i从1到n;有等比数列可得，[(1+x)^(n+r)-(1+x)^r]/x.我们从求和的通式C(i+r-1,r-1)可以看出，其和就是x^(r-1)的系数，即C(n+r,r)-C(r,r)=C(n+r,r)-1,(因为只有从最终的和式分子中取r次，才是x^(r-1)的系数，分母有1个x),再者，因为是从1开始的，所以少了1个解，即未知数都是0时，所以有：C(n+r,r)。

白新岭

3楼提的问题，问什么不用等量代换。设x1=y1≥0,x2=y1+y2,x3=y1+y2+y3,....xr=y1+y2+y3+...+yr,y2≥0,y3≥0,...,yr≥0.这样限制条件就没有了。x1+x2+...+xr=ry1+(r-1)y2+(r-1)y3+...+1yr=n.（改变一下形式即可），所以从1开始的自然数系数线性方程的非负整数解就是n拆分成不超过r个整数的方法数。

白新岭

从上面的帖子中可知整数n的分拆数与方程解的组数同阶。所以是一个(n-1)次多项式的函数值。

ccmmjj

下面引用由白新岭在 2009/05/24 05:31pm 发表的内容：
3楼提的问题，问什么不用等量代换。设x1=y1≥0,x2=y1+y2,x3=y1+y2+y3,....xr=y1+y2+y3+...+yr,y2≥0,y3≥0,...,yr≥0.这样限制条件就没有了。x1+x2+...+xr=ry1+(r-1)y2+(r-1)y3+...+1yr=n.（改变一下形式即可）　...

互相学习，很好。