P 是 ΔABC 内一点，已知有 PA=10，PB=6，PC=7，∠BAC=60°。求 ΔABC 面积的最大值

图老师3

在△ABC中，∠BAC=80°。P在△ABC内。PA=13，PB=6，PC=8 求△ABC的最大面积。

Ysu2008

Ysu2008

随手画一个三角形，把参数标上，然后发现怎么解也解不出来，还以为是超级难题。

Nicolas2050

在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

王守恩

Nicolas2050 发表于 2020-3-9 12:17
在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

我们有：当 sin∠PAB/sin∠PAC=6/7 时，△ABC 有最大面积 S。
S=b*c*sin60°/2
S^2=b^2*c^2*3/16
b^2=10^2+7^2+2*10*7*cos(30°+a+arcsin(10sin(30°+a)/7))
c^2=10^2+6^2+2*10*6*cos(30° -a+arcsin(10sin(30° -a)/6))
其中：a 由方程 sin∠PAB/sin∠PAC=sin(30°-a)/sin(30°+a)=6/7
解得 a=2.5429239°

兼得：sin∠PCB/sin∠PBC=6/7    ∠PCA=∠PBA    ∠BPA-a=∠CPA+a

又：arctan(6/10)+arctan(7/10) < ∠BAC 时无解。

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-11 08:54
在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

我们有：当 sin∠PAB/ ...

P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S 。

我们记10对应的边为a，7对应的边为b，6对应的边为c，
      记10对应的角为x，7对应的角为y，6对应的角为z，
由 sin(x):sin(y):sin(z)=10:7:6，x+y+z=90°  解得 {x,y,z}
x -> 40.2737, y -> 26.9047, z -> 22.8216
a^2=07^2+06^2+2*07*06*cos(y+z)
b^2=06^2+10^2+2*06*10*cos(z+x)
c^2=10^2+07^2+2*10*07*cos(x+y)
S=a*b*sin(x+y)/2=b*c*sin(y+z)/2=c*a*sin(z+x)/2=75.0352

王守恩

Nicolas2050 发表于 2020-3-9 12:17
在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

Ysu2008

王守恩 发表于 2020-3-11 08:54
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

我们有：当 sin∠PAB/ ...

当 sin∠PAB/sin∠PAC=6/7 时，△ABC 有最大面积 S

——这是怎么得到的？

王守恩

Ysu2008 发表于 2020-3-12 11:18
当 sin∠PAB/sin∠PAC=6/7 时，△ABC 有最大面积 S

——这是怎么得到的？

谢谢 Nicolas2050！一道不错的题目。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-13 12:09
谢谢 Nicolas2050！一道不错的题目。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求 ...

谢谢 Nicolas2050！一道不错的题目( 2 道一起计算)。