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[讨论]某些数学家以及数学爱好者根本不知√N在筛法中是个啥?
新创建的无限逼近运算符号“↓”
复杂数的数值计算经常采用连分数法。例如：自然对数的底数（e）的数值计算。欧拉给出三种连分数。
e==[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,....]
```````1``1``2``3``
===2+..-..-..-..-......
.......1..2..2..4...
```````2``3``4````
===2+..-..-..-.....
.......2..3..4...
43的平方根,连分数表示法
````````1`1`1`1`1`1`1`1`1`|分子总是1
√43==6+-.-.-.-.-.-.-.-.-.|-.-.-.-.-...
........1.1.3.1.5.1.3.1.1.|分母循环.
连分数的计算很难，需要创建一种简便的连分数无限逼近吧。这就是无限逼近运算符号“↓”
下限增近解数
````````7``7``7``7``````````7
√43==6+--.--.--.--...=6+—---
........12.12.12.12......12+↓
上限缩近解数
`````````6``6``6``6```````````6
√43==7-.--.--.--.--.....=7-.—--
.........14.14.14.14.........14-↓
注意:两公式都是一级一级接近,用近似公式计算中间数,不影响接近趋势,近似公式是幂运算,可作为两式的上下界限夹近真解。
有∷等于√[12ˇ2+4*7]=√172
`````````7``7``7``7`````````7
√43==6+--.--.--.--...=6+—-------
........∷.∷.∷.∷........√172-↓
有∷等于√[14ˇ2-4*6]=√172
`````````6``6``6``6```````````6
√43==7--.--.--.--.....=7-.—------
........∷.∷.∷.∷........√172+↓
符号↓表示采用连分数各分项的分数都相同的运算式。
上面例子是整数，也适用于实数，复数。
给定一个数43，你可以这样求他的平方根数√43。
找出微小些的一个平方数36”查出其根6，间隔数7，
则根√43==小根6+(间隔7/两倍小根+↓)
或者找出微大些的一个平方数49，查出其根7，间隔数6
则根√43==大根7-(间隔6/两倍大根-↓)
有转换公式√[12ˇ2+4*7]=√172=√[14ˇ2-4*6]
使两式的分母也相同,还可继续转换，形成多形式解公式
采用含符号↓的连分数这种无限逼近式。优点肯定超越普通连分数。值得用来解决无理数，超越数问题。
把复杂数转换成无限逼近式的方法：
求数的平方根的无限逼近式。
找出微小些的一个平方数”查出其根a，间隔数b，
则有√数==a+(b/[(2a)+↓];还有，
找出微大些的一个平方数，查出其根(a+1)，间隔数(b+1)
则有√数==(a+1)-(b+1)/[(2a+2)-↓]
把复数转换成无限逼近式的方法。
正实数负虚数型
`````[a^2+b^2]
a-ib=----------
.......2a-↓
负实数负虚数型
``````[a^2+b^2]
-a-ib=----------
.......-2a-↓
正实数正虚数型
`````-[a^2+b^2]
a+ib=----------
......-2a+↓
负实数正虚数型
``````-[a^2+b^2]
-a+ib=----------
........2a+↓
把一元二次方程的根转换成无限逼近式的方法
利用方程xˇ2+ax+b=0的两个系数就可以了。
正a负b时，两根是：两根和=-a,移位的差也成立.
```b```````-b
------；--------
a+↓.....-a-↓
负a正b时，两根是：两根和=a,移位的差也成立
``-b```````b
------；--------
-a+↓.....a-↓
正a正b时，两根是：两根和=-a,移位的差也成立
``-b```````b
------；--------
a+↓.....-a-↓
负a负b时，两根是：两根和=a,移位的差也成立
```b```````-b
------；--------
-a+↓....a-↓
无限逼近式各级近似解的数值计算的方法：
逼近表示近似，近似值的绝对误差分为有效数字(误差是4舍5入法末位上的半个单位),可靠数字(误差是去尾,收尾法末位上的半个单位),有效一定可靠,可靠不一定有效.
设无限逼近式各级解的级数为k，各级近似解为“P/Q↓k”
给定一个无限逼近式b/[a+↓]，各级近似解如下：
``````````b
P/Q+↓1==----
..........a
`````````(a^2)b+b^2
P/Q+↓3==-----------
.........(a^3)+2ab
`````````(a^4)b+3(a^2)(b^2)+b^3
P/Q+↓5==-----------------------
.........(a^5)+4(a^3)b+3a(b^2)
`````````(a^6)b+5(a^4)(b^2)+6(a^2)(b^3)+b^4
P/Q+↓7==-----------------------------------
.........(a^7)+6(a^5)b++10(a^3)(b^2)+4a(b^3)
k为奇数时的降幂规律.........................
`````````ab
P/Q+↓2==-------
........(a^2)+b
`````````(a^3)b+2a(b^2)
P/Q+↓4==----------------
.........(a^4)+3(a^2)b+(b^2)
````````(a^5)b+4(a^3)(b^2)+3a(b^3)
P/Q+↓6==-------------------------------
........(a^6)+5(a^4)b+6(a^2)(b^2)+(b^3)
k为偶数时的降幂规律....................
给定一个无限逼近式b/[a-↓]，各级近似解如下：
`````````b
P/Q-↓1=----
.........a
````````(a^2)b-b^2
P/Q-↓3=-----------
........(a^3)-2ab
````````(a^4)b-3(a^2)(b^2)+b^3
P/Q-↓5=-----------------------
........(a^5)-4(a^3)b+3a(b^2)
````````(a^6)b-5(a^4)(b^2)+6(a^2)(b^3)-b^4
P/Q-↓7=-----------------------------------
........(a^7)-6(a^5)b+10(a^3)(b^2)-4a(b^3)
k为奇数时的降幂规律.........................
`````````ab
P/Q-↓2=-------
........(a^2)-b
`````````(a^3)b-2a(b^2)
P/Q-↓4=----------------
.........(a^4)-3(a^2)b+(b^2)
````````(a^5)b-4(a^3)(b^2)+3a(b^3)
P/Q-↓6=-------------------------------
........(a^6)-5(a^4)b+6(a^2)(b^2)-(b^3)
k为偶数时的降幂规律....................
上面各公式各项因式的系数的取值如下图:
各项因式的系数的取值等于杨辉三角形斜线上的数。
``````````1.....................1
````````1````1.................1..1
```````1```2``1...............1..2
``````1``3```3``1............1..3...1
````1``4``6```4``1..........1..4..3
```1``5``10`10.``5``1......1..5..6....1
``1`6``15`20``15``6``1....1..6.10...4
.........................1..7.15.10.....1
........................1..8..21..20..5
.......................1..8..28..35..15...1
从杨辉三角形左边往右上作斜线,斜线上的数就是取值,
杨辉三角形左上区域的数，往右下方移位，就是取值
无限逼近式幂的数值计算的方法
```b```````b^2
(----)^2==---------
.a+↓.....a^2+2b-↓
```b```````b^3
(----)^3==---------
.a+↓.....a^3+3ab+↓
```b```````b^4
(----)^4==------------------
.a+↓.....a^4+4(a^2)b+2b^2-↓
```b```````b^5
(----)^5==-------------------
.a+↓.....a^5+5(a^4)b+5ab^2+↓
...................
```b`````````b^偶数
(----)^偶数==-----------------
.a+↓........a^偶数+.+.+....-↓
```b`````````b^奇数
(----)^奇数==------------------
.a+↓........a^奇数+.+.+....+↓
...................
无限逼近式的幂
```b```````b^2
(----)^2==---------
.a-↓.....a^2-2b-↓
```b```````b^3
(----)^3==---------
.a-↓.....a^3-3ab+↓
```b```````b^4
(----)^4==------------------
.a-↓.....a^4-4(a^2)b+2b^2-↓
```b```````b^5
(----)^5==-------------------
.a-↓.....a^5-5(a^4)b+5ab^2-↓
...................
```b`````````b^n
(----)^n==--------------------
.a-↓........a^n-.+.-.+....-↓
上面各个项的系数为[n(n-1-m)!]/[m!(n-2m)!]
也可以按下图取值:
各项因式的系数的取值等于微变型杨辉三角形斜线上的数。
``````````2
````````1````2
```````1```3``2...............1...2
``````1``3```5``2...........1..3
````1``4``8```7``2.........1..4.....2
```1``5``12`15``9``2.....1..5..5....
``1`6``17`27``24`11`2...1..6..9........2
......................1..7.14..7
.....................1..8.20..16.........2
....................1..9.27.30..9
...................1..10.35..50.25........2
...........................................
从微变型杨辉三角形左边往右上作斜线,斜线上的数就是取值,
微变型杨辉三角形左上区域的数，往右下方移位，就是取值 。
各个纯无限逼近式数都有上值数,下值数,且两值对称于(0.5),表现形式就是[两数的和等于1],例如:
黄金数=[1/(1+↓)]=(0.618..)=(0.5)(√5)-(0.5)
.......[1/(3-↓)]=(0.381..)=1.5-(0.5)(√5)
[1/(2+↓)]=(0.41..)=(√2)-1
[2/(4-↓)]=(0.58..)=2-(√2)
[2/(2+↓)]=(0.73..)=(√3)-1
[4/(4-↓)]=(0.26..)=2-(√3)
[1/(3+↓)]=(0.30..)=(0.5)(√13)-(1.5)
[3/(5-↓)]=(0.69..)=2.5-(0.5)(√13)
[2/(3+↓)]=(0.56..)=(0.5)(√17)-(1.5)
[2/(5-↓)]=(0.43..)=2.5-(0.5)(√17)
................................
复数与无限逼近式数是一一对应的,
采用含符号↓的连分数。优点肯定超越普通连分数。值得用来解决无理数，超越数问题。
whamin
2008.12.31
见 http://wikibar.hudong.com/posts/Gdw,FRBHZmXGZaaUdwCF,cGdw
申一言，你好，试用一下“无限逼近式数”。或许会是你展显观点的舞台。
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狗仔卡
发表于 2009-7-6 15:16
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