[原创] 空间定理

顽石

[watermark]空间定理
美国著名科学家乔治·盖莫夫在他的《从一到无穷大》著作中写道：
“一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多的边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。数一数以后，我们得到下面的表。
—————————————————————————————————
多面体名称      顶点数V      棱数E      面数F      V+F      E+2  
—————————————————————————————————
  四面体           4            6          4          8        8   
  六面体           8           12          6         14       14   
  八面体           6           12          8         14       14   
二十面体         12           30         20         32       32   
十二面体         20           30         12         32       32   
“古怪体”        21           45         26         47       47   
—————————————————————————————————
前面三栏的数据，乍一看来好像没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
         V + F = E + 2                                       （1）
这个式子是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其他样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面，你会发现，结果还是一样。可见， V + F = E + 2是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或者面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、棱、面）的数目。
这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene Descartes)最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学大师欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理”。
我非常欣赏上述两位数学大师的慧眼！但对于这个古老的定理，我们还是可以再提高一点，使其适用范围更广些。
多面体中的顶点、棱、面和其本身的体，就是不同的空间形态。点、线、面、体，被依次称为0维空间、1维空间、2维空间、3维空间。我们如果把由多面体的面包裹着的封闭空间看作一个体，并且，把多面体以外的整个空间也看作一个体，把体的数目用K来表示，那么就有：
         V + F - E - K = 0                                   （2）
也即，偶维空间数与奇维空间数相等：
         0维空间数+2维空间数-1维空间数-3维空间数 = 0         （3）
例1：
3维空间中，只有一个原点，那么按照（2）式，就有：
1 + 0 - 0 - 1 = 0
例2：
3维空间中的1条线段有两个端点，那么按照（2）式，就有：
2 + 0 - 1 - 1 = 0
例3：
空间中有一个三角形，它们的空间数量关系是，点3个，线段3个，面1个，3维空间1个，则有以下数量关系式：
3 + 1 - 3 - 1 = 0
例4：
空间中有一个正四面体和一个正方体，两者有一条公共棱相连，它们的空间数量关系是，点10个，线段17个，面10个，体3个，则有以下数量关系式：
10 + 10 - 17 - 3 = 0
例5：
“里”字的空间数量关系是，点15个，线段18个，面4个，体1个，则有以下数量关系式：
15 + 4 - 18 - 1 = 0
例6：
原本0至1长度的线段，被分割n - 1次，n趋向无穷大。它们的空间数量关系是，点n - 1 + 2个 = n + 1 个，分割后的线段n 个，面0个，体1个，则有以下数量关系式：
（n + 1）+ 0 - n  - 1 = 0
分割后的每段线段长度是1/n,因此n个1/n长度的线段才能形成长度为1的线段。当n趋向无穷大时，1/n为无穷小，因此0至1长度的线段是由无穷多个无穷小线段组成的。这里的无穷多个无穷小线段，仍包含着无穷多个点。但是点只有数量而没有长度，丝毫不对线段长度有任何贡献，仅仅对于关系式中的数量有贡献。现行的数学基础理论认为：“线段由无穷多个点组成”。不承认线段中的点具有离散性，可数性。这个观点的荒唐在于，既违反无穷多个0长度不能形成线段这个事实；又违反基于欧拉定理之上的空间数量关系式。
上述空间关系必须遵循如下3条：
1） 不适合四维空间及四维以上的多维空间；
2） 0维空间、1维空间、2维空间都必须连接在一起成为一个图形；
3） 不适合曲线、曲面图形。
为了区别欧拉定理，将上述的（2）的数量关系式可称为：空间定理。[/watermark]

申一言

  正确!完全正确!
       因为点,线,面,体是空间的量,而表示它们的量的"数"不必用大,小:长,短;宽窄,厚薄,,,计量单位(mm,cm,km,cm^2,,,,km^3),
      因此它们本身就是纯粹数学中空间量的 单位!
                                         *  *
   是否可称之为空间量单位定理?
                   个人见解,仅供参考!
                                        祝顽石兄安康!

申一言

   另:您既然知道 n*1/n=1,今后就不要说"缝隙"一词,应该是线段(基本单位)!
      避免受人以柄.
           妥否?

                                         一言.
                                                      谢谢!
                        

wangyangkee