向量 a 在平面 E 上，向量 b 与平面 E 夹角为 60°，|a|=5，|b|=7，求 a·b 的最小值

wintex

請問向量

波斯猫猫

由条件易知向量a与b所成的角的范围在〔60°，120°〕上，又〔60°，120°〕上的余弦是减函数，故a·b 的最小值为-35/2.

wintex

波斯猫猫 发表于 2020-3-15 15:42
由条件易知向量a与b所成的角的范围在〔60°，120°〕上，又〔60°，120°〕上的余弦是减函数，故a·b 的最 ...

請問老師是為何？謝謝。

波斯猫猫

向量b与b在平面E上的射影b′所成的角为60°（最小角），与b′方向相反的向量和b所成的角为120°（最大角）。

luyuanhong

题  向量 a 在平面 E 上，向量 b 与平面 E 夹角为 60°，|a|=5，|b|=7，求 a·b 的最小值。

解  我在《数学中国》另一个帖子中，证明了：

若向量 b 与平面 E 夹角为 φ，则 b 与 E 上任何一个向量的夹角，最小为 φ，最大为 π-φ 。

在本题中，向量 b 与平面 E 夹角为 60°，a 是 E 上一个向量，所以 b 与 a 的夹角，最大为

180°- 60°= 120°，也就是说，b 与 a 的夹角的余弦，最小值为 cos120°= -1/2 。

由此可得 a·b 的最小值为 |a||b|cos120°= 5×7×(-1/2) = -35/2 。

luyuanhong