关于折纸第六公理的说明

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关于折纸第六公理的说明

作者 | 刘瑞祥

折纸几何学是近些年来比较热门的一个话题，很适合在中小学课外活动中开展。顾森在其科普著作《思考的乐趣》里曾经介绍过，另外一本黄燕苹、李秉彝著的《折纸与数学》则有更深入的讲解。



全部的折纸基本操作一共有七条，称为折纸基本公理，其中比较让人困惑的是所谓的公理六：已知 A、B 两点和 a、b 两直线，可以把 A、B 分别折到 a、b 上。按照前述资料的介绍，说这个操作相当于求解三次方程，但是很多资料并没有更进一步的说明。顾森的博客上有网友留言给出了相关链接，但是日文的，蒙科学网博主蒋迅老师帮助利用谷歌自动翻译功能，我又找到了一篇中文文章，总算是自我感觉大致理解了。下面作一介绍。



经过上述一番折腾，笔者发现原来无意中设定的这些数值，居然有两个解使已知点折到了已知直线的交点上，这也太巧合了吧。这样的例子给学生，会让学生误以为三个解中必然会出现已知点折到已知直线交点。不甘心的我换了一组数值，发现仍然如此，真是无语了。


黑色实线为纸张轮廓，红色实线为已知直线，红色虚线为折痕，蓝线为已知点和折叠后的对应点的连线
几经思考，笔者觉得问题出现在我设定的三次方程的解都是简单的整数比，这次我痛下决心，用了无理数，设定三次方程的解分别是 1、-√2 、√3 ，于是问题完美解决，不再使得已知点经过折叠后到已知直线的交点位置了。


本例的三个解

补充说明：

1. 所谓最多三个解，不限定于两条已知直线互相垂直的情况；而且这三个解是这样的：只包括 A→a 且 B→b ，如果还包括点 A→b 且 B→a ，则最多可能有六个解。

2. 本文最后的三个图，坐标原点不在正方形中心，而是略靠上一点，否则最后一图 P2 的对应点就跑到纸外去了。

3. 读者可以思考一下，公理六到底什么情况下会使其中一点折叠后过两条已知直线的交点。

参考资料：

1. http://www.matrix67.com/blog/archives/4169

2. http://origami.ousaan.com/library/constj.html

3. 数学通报，2007 年第 46 卷第 10 期，P57，折纸与尺规作图，张贺佳，广东省佛山顺德一中