[讨论]对变量的不同理解

elimqiu

令 N = {1,2,3,...}
设 f: N → R 为一个函数, An = f(n), 则数列 {An} 与 f 彼此唯一确定。
我们问：
一旦给出（定义/写出表达式 等等）一个数列{An}
(1){An}是否立即开始一项一项地顺次‘激活自己’，而所‘激活’的项的值就是该数列在数轴上的位置，因而会变，{An}在这个意义上是变量，这个精灵般的，自觉地变化着的量永远不会穷尽变化，在物理时间中永不止息。
还是
(2)说{An}是变量是指其项值依赖于项序号。{An}等价于定义它的函数，并不自行其是，自己朝着某方向跑，人们可以考虑其极限，而取极限作为一种运算不耗费任何物理时间。
现行数学是拒绝(1)，采取(2)的。以下是一些理由。
* 数学要求的客观性必须否定(1)。因为没有人能有根据地指出数列变量的变化现况。
* 数列不是单单为了朝其极限方向跑而存在的。很多发散数列都很有用，在组合数学中，大量计数问题都导致发散数列。有些数列的最大价值就是其相邻项的递归关系。
我想应该还有一些其他拒绝(1)的理由。大家参与补充。
变量观点（1）背后的哲学，心理原因是什么？这问题有趣但不是本贴想探索的。
我们只提到数列变量，由一般的函数给出的变量以后可以考虑。其实很多东西都是相通的。
本贴要谈的是观点（1）对认识无限小数的影响。举例来说，顽石给出的“等式”
0.99999… =（10^n-1）/10^n
其实表明了观点（1）。于是右边作为数列的通项表达式是一个自动向着极限跑，永无止境的精灵，从而左边就是一个9的数目不断增加的东西，同时又是一个数列。当然这个数列其实在任何时刻都只有有限项，随时间不断增长着。
顽石的无限小数观在现行数学中的不合法性在于观点（1）在现行数学中的不合法性。本质上是对数列/变量的异端认识。
那么现行数学对无限小数到底是怎么定义的？由于实数的连续性有许多等价定义，无限小数也可以有很多定义方式。最直观的（不妨设进制为10）是级数
0.X1X2X3... = X1/10+X2/10^2+X3/10^3... = lim (X1/10+X2/10^2+...+Xn/10^n)
                                        n→∞
在这个定义下无限小数不是变量而是常量。它是实数的统一表达方式。又是最直接地统一地使数和数轴上的点建立对应（定位）的数的表达方式。数学史和数学实践都表明
pi = 3.1415926..., e=2.718281828... 等无限小数所表达的是常数不是变量。
如何给数学对象一个表达方式是人的自由。但用现行数学已用的表达方式去表达另外的东西毕竟不近常理。顽石搞顽石数系要怎么搞都行。可是要来干扰别人使用无限小数来表示pi,e,√p等常数，是不是有点离谱？

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2009/08/27 04:14pm 发表的内容：
取极限作为一种运算不耗费任何物理时间。
...

这是一句会有争议的话。
对任何个人，求极限是需要时间的。有些极限对有些人要很长时间，有些极限还没有找到解法。
从直观上看，人们可以观察趋势，用这种枚举方法领悟极限。但是严格地说，极限是函数（数列是特例）的渐进性质，是给定函数（数列）时就确定了的东西（如果存在的话）。就好像方程的根是与方程俱来的东西。跟个人如何具体求它没有关系。从这个意义上说，数学世界是时间以外的世界。

ygq的马甲

楼主（elimqiu）与那个“蠢货”（顽石）纠缠，有成果吗 ？？？
将这种“垃圾”帖顶上来，害“眼球”呀[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

不要与“蠢货”们讲道理

ygq的马甲

我终于找到了一个“理想的无赖加笨蛋e1”让我充分阐述真理！宣传真理！我将不断揭露e1无赖的荒唐！让e1无赖不断丢人现眼！我应该肯定一点：在这里e1是作出了特殊的贡献！向e1致敬！

楼主（elimqiu）你干的是什么呀[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

就是相声里的“托”

elimqiu

下面引用由ygq的马甲在 2009/08/28 07:55am 发表的内容：
楼主（elimqiu）你干的是什么呀-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在  时添加 -=-=-=-=-
就是相声里的“托”

顽石对他的利令智昏要得意几番才知道什么叫丢人现眼不是很正常？

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2009/08/27 04:14pm 发表的内容：
令 N = {1,2,3,...}
设 f: N → R 为一个函数, An = f(n), 则数列 {An} 与 f 彼此唯一确定。
我们问：
一旦给出（定义/写出表达式 等等）一个数列{An}
(1){An}是否立即开始一项一项地顺次‘激活自己’，而所‘激活’的项的值就是该数列在数轴上的位置，因而会变，{An}在这个意义上是变量，这个精灵般的，自觉地变化着的量永远不会穷尽变化，在物理时间中永不止息。
...

上面的(1)还有另一种说法：(f(n) 是有关n的表达式)
f(n)  (其中n趋向无穷大)                          -------------------- （*）
例如
(10^n - 1)/(3×10^n)     (其中n趋向无穷大)      -------------------- （**）
试问（**）到底是什么意思？
它等价于 lim (10^n - 1)/(3×10^n)  吗？  好像不是。那样的话就不是永不止息了。
         n→∞
那么它是什么？ 是一个项数不断增加的（有限）数列还是这个数列的不断变化着的最后一项？不知道。把（*）或（**）叫做潜无穷观点的表达式在我看来有点像‘一个猛子潜入无穷的汪洋大海中，谓之潜无穷’，再也不知道它在哪里了。它是一首永无休止的进行曲？ 跟它作运算的结果都成了这样的‘潜无穷’。在这种意义下‘无穷只有一个’？
（*）是没有确定大小的量，是没有客观的status，没有客观的意义的东西。有点像在逃的通缉犯的‘近照’。 现行数学中没有（*）的合法性！
然而它是形象的，这种形象性让人以为它似乎有某种数学的合法性。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这东西有点非标准分析的味道。可惜非标准分析还得建立在实无穷的集合论基础上啊。

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，

hxl268

世界出了个打假勇士hxl268，就能使elimqiu之类众多没文化的小混混大白痴的"混科"者害怕得发抖而发出阵阵惨叫：我们的末日到了。
这些知道末日来临的大白痴还是有点自知之明的。

-=-=-=-=- 以下内容由 hxl268 在 时添加 -=-=-=-=-
看打假勇士hxl268如何剥下elimqiu之类众多没文化的小混混大白痴的画皮。

elimqiu

有 wangyangkee hxl268 的联手，我就轻松多了。呵呵，水平相当：世界不是按照【够】运行的，既生 wangyangkee，又生 hxl268。千万不要说够了，呵呵

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2009/08/27 04:14pm 发表的内容：
令 N = {1,2,3,...}
设 f: N → R 为一个函数, An = f(n), 则数列 {An} 与 f 彼此唯一确定。
我们问：
一旦给出（定义/写出表达式 等等）一个数列{An}
...

用数列 {An} 表示数，是依次确定具体的位数的数值。
如0.9999....{0.9 0.99 0.999 0.9999 .....}依次确定个位，十位，百位 等的数值，是定值，不是变量。