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令 N = {1,2,3,...}
设 f: N → R 为一个函数, An = f(n), 则数列 {An} 与 f 彼此唯一确定。
我们问:
一旦给出(定义/写出表达式 等等)一个数列{An}
(1){An}是否立即开始一项一项地顺次‘激活自己’,而所‘激活’的项的值就是该数列在数轴上的位置,因而会变,{An}在这个意义上是变量,这个精灵般的,自觉地变化着的量永远不会穷尽变化,在物理时间中永不止息。
还是
(2)说{An}是变量是指其项值依赖于项序号。{An}等价于定义它的函数,并不自行其是,自己朝着某方向跑,人们可以考虑其极限,而取极限作为一种运算不耗费任何物理时间。
现行数学是拒绝(1),采取(2)的。以下是一些理由。
* 数学要求的客观性必须否定(1)。因为没有人能有根据地指出数列变量的变化现况。
* 数列不是单单为了朝其极限方向跑而存在的。很多发散数列都很有用,在组合数学中,大量计数问题都导致发散数列。有些数列的最大价值就是其相邻项的递归关系。
我想应该还有一些其他拒绝(1)的理由。大家参与补充。
变量观点(1)背后的哲学,心理原因是什么?这问题有趣但不是本贴想探索的。
我们只提到数列变量,由一般的函数给出的变量以后可以考虑。其实很多东西都是相通的。
本贴要谈的是观点(1)对认识无限小数的影响。举例来说,顽石给出的“等式”
0.99999… =(10^n-1)/10^n
其实表明了观点(1)。于是右边作为数列的通项表达式是一个自动向着极限跑,永无止境的精灵,从而左边就是一个9的数目不断增加的东西,同时又是一个数列。当然这个数列其实在任何时刻都只有有限项,随时间不断增长着。
顽石的无限小数观在现行数学中的不合法性在于观点(1)在现行数学中的不合法性。本质上是对数列/变量的异端认识。
那么现行数学对无限小数到底是怎么定义的?由于实数的连续性有许多等价定义,无限小数也可以有很多定义方式。最直观的(不妨设进制为10)是级数
0.X1X2X3... = X1/10+X2/10^2+X3/10^3... = lim (X1/10+X2/10^2+...+Xn/10^n)
n→∞
在这个定义下无限小数不是变量而是常量。它是实数的统一表达方式。又是最直接地统一地使数和数轴上的点建立对应(定位)的数的表达方式。数学史和数学实践都表明
pi = 3.1415926..., e=2.718281828... 等无限小数所表达的是常数不是变量。
如何给数学对象一个表达方式是人的自由。但用现行数学已用的表达方式去表达另外的东西毕竟不近常理。顽石搞顽石数系要怎么搞都行。可是要来干扰别人使用无限小数来表示pi,e,√p等常数,是不是有点离谱?
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