求证非等边三角形外心、内心、垂心之间的夹角大于90度

denglongshan

三个问题：
（1）已知非等边三角形三个角A,B,C，求其外心、内心、垂心之间的夹角I=∠OIH.
（2）求证：I>90°.
（3）求当夹角趋于90度时，三角形三个角的极限值.

ataorj

由内角和可知，就是要证O和H不会落在任一角平分线的一侧，我们就需要研究何时换向，也就是何时共线于角平分线，显然等腰三角形时。先这个思路先，后面还没思索，估计可行

ataorj

ABC任一条角平分线都分题目角T（不＞180的那个）为两个角，这两角分别是两个三角形的外角，利用外角等于对应两个内角和原理，
又显然三角形两角和<180,半角和a<90
a与ABC另一角的和b肯定>90
T又是＞b的。
这个是通常我们的证明思路，依赖图形，不需要证明其它更多，一般就视为已经证明了。
应该称为是弱证明。

elim

不妨设 (0<θ<π/2, π-θ<β<π), 3θ≠β)
取单位圆(元心为内心 I=(0,0))上三点 e^(iθ), e^(iβ), e^(-iθ) 为切点的三切线的交点为顶点作三角形ΔABC. 易证它不是等腰三角形.
由直线的法向方程不难得到三顶点的坐标, 然后求出H=H(θ,β), O=O(θ,β)通过内积 H·O < 0 即知∠OIH > 90°

∠OIH >135°, 不可能趋于 90°
拿几何画板弄给自己看看.

ataorj

补充说明

因a<90，
a与ABC另一角的和b肯定>90
这是因为
180-a>90，也即b>90

O和H不会落在任一角平分线的一侧，否则上面提到ABC角平分线分角T成的两个角就有交叉，就不能依赖前帖推导了。幸好一般不要求证明O和H不会落在任一角平分线的一侧

ataorj

补充说明

因a<90，
a与ABC另一角的和b肯定>90
这是因为
180-a>90，也即b>90

O和H不会落在任一角平分线的一侧，否则上面提到ABC角平分线分角T成的两个角就有交叉，就不能依赖前帖推导了。幸好一般不要求证明O和H不会落在任一角平分线的一侧

elim

楼主神隐去了. 呵呵

denglongshan

抱歉，最近其他方面多关注了一些，图片是数学研发论坛一位网友的答复，没有解决最后的问题。

denglongshan

完全可能趋近于九十度，A是钝角，B无限接近A。
但是最后的极限问题仍然没有解决。

denglongshan

完全可能趋近于九十度，A是钝角，B无限接近A。
但是最后的极限问题仍然没有解决。