[求助]找出一个反例

squallsc

f(x)在(0,+∞)上连续,满足f(ax)=f(x),(a>1)
如果x->+∞时,有f(x)->A 可以证明出 f(x)在(0,+∞)上恒为常数A
如果把x->+∞时,有f(x)->A 这个条件去掉,结果不成立的反例怎么找??
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 squallsc 在 时添加 -=-=-=-=-
谢谢,知道什么意思了
.....[1/a,1],[1,a],[a,a^2],......
这无穷多个区间,端点值都要相等
可以取函数f(x)=(x-a^(k-1))(x-a^k), x在[a^(k-1),a^k],k为整数
这无穷多个区间的并就是(0,+∞)[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 squallsc 在 时添加 -=-=-=-=-
不对,这函数每个区间上值域不一样,,
f(x)表达式不容易写出来啊[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 squallsc 在 时添加 -=-=-=-=-
f(x)=(x*a^k-1))(x*a^k-a), x在[a^-k,a^-k+1],k为整数
这样应该可以吧..[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 squallsc 在 时添加 -=-=-=-=-
f(x)=(x*a^k-1))(x*a^k-a), x在[a^-k,a^-k+1],k为整数
这样应该可以吧..[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 squallsc 在 时添加 -=-=-=-=-
f(x)=(x*a^k-1))(x*a^k-a), x在[a^-k,a^-k+1],k为整数
这样应该可以吧..

wanwna

你再想一想，不难。
打个比方，就取a=2,
你可以证明任何一个定义域为[1,2]上的连续函数,并且满足F(1)=F(2)
都可以唯一扩张成(0,+∞)上连续的函数f(x)并满足f(2x)=f(x)

ccmmjj

我给你找一个吧,狄雷科里函数,
f(x)=0,(当x是正无理数时)
f(x)=1,,(当x是正有理数时)
老兄,你自己分析一下吧.
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ccmmjj 在 时添加 -=-=-=-=-
我错了,没注意到连续的条件.

wanwna

下面引用由ccmmjj在 2009/09/17 07:15pm 发表的内容：
我给你找一个吧,狄雷科里函数,
f(x)=0,(当x是正无理数时)
f(x)=1,,(当x是正有理数时)
老兄,你自己分析一下吧.

这个例子不行，点点不连续

ccmmjj

  wanwna  的例子是对的。

wanwna

以下命题是成立的。
对于任何a>1,b>0
满足以下三个条件的函数F(x)
1.函数定义域为[b,ab]
2.在定义域上连续
3.F(b)=F(ab)
都可以唯一扩张成满足以下三个条件的函数f(x)：
1.定义域为(0,+∞)
2.定义域上连续
3.对于任意c>0,一定成立f(ac)=f(c)
均

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/17 10:36pm 第 1 次编辑]

楼上 wanwna 的论述很好，完全正确。下面我举一个具体的例子：

squallsc

请问老师找反例有没有什么诀窍,有时候图像可以想出来,但是函数具体表达出来好难