【趣题征解】正整数 m < n, p> 1 何时使 m/n 不能表示成有限 p 进小数？

elimqiu

正整数 m < n, p> 1 满足什么条件时， m/n 不能表示成有限 p 进制小数？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
希望通过本题知道不必对 1/3 大惊小怪。

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/01 11:31am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2009/09/30 11:31pm 发表的内容：
正整数 m < n, p> 1 满足什么条件时， m/n 不能表示成有限 p 进制小数？-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
希望通过本题知道不必对 1/3 大惊小怪。

若（m,n）=1，当且仅当n含有某个素因数p0，而p不含有素因数p0时，m/n 不能表示成有限 p 进制小数。
要承认无限循环小数的存在。
要承认无限不循环小数的存在。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/01 11:29am 第 1 次编辑]

当 m,n 是互质的正整数时，分数 m/n 能表示成有限 p 进制小数的充分必要条件是：
    存在一个正整数 k ，使得 p^k 能被 n 整除。
例1 在 p=10 进制中，当 m=12 ，n=25 时，由于存在正整数 k=2 ，使得 p^k=10^2=100 是 n=25 的倍数，
所以  m/n=12/25 能表示成有限 10 进制小数 0.48 。
例2 在 p=10 进制中，当 m=1 ，n=3 时，由于不存在正整数 k ，使得 p^k=10^k 是 n=3 的倍数，
所以  m/n=1/3 不能表示成有限 10 进制小数。

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/01 11:29am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2009/10/01 11:27am 发表的内容：
当 m,n 是互质的正整数时，分数 m/n 能表示成有限 p 进制小数的充分必要条件是：
    存在一个正整数 k ，使得 p^k 能被 n 整除。
例如，在 p=10 进制中，当 m=12 ，n=25 时，由于存在正整数 k=2 ，使得 p^k=10^ ...

实际上，陆老师的说法和下面命题等价。。
若（m,n）=1，当且仅当n含有某个素因数p0，而p不含有素因数p0时，m/n 不能表示成有限 p 进制小数。

elimqiu

综合起来就是说当 n/(m,n) 有不是p的因数的素因数时 m/n 不能表示成有限p进小数。 谢谢二位的解答。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=- 对正整数m,n [ m

elimqiu

给定p>1, 随机地取二正整数m,n, m/n 不能表示为有限p进制小数的概率是多少？

elimqiu