【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+ … +6^n 必能被 7 整除

luyuanhong · 发表于 2009-10-1 16:48

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【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n 必能被 7 整除。

moranhuishou · 发表于 2009-10-1 17:52

这个规律是：
1  1  1  1  1  1  1...
2  4  1  2  4  1  2...
3  2  6  4  5  1  3...
4  2  1  4  2  1  4...
5  4  6  2  3  1  5...
6  1  6  1  6  1  6...

wangyangke · 发表于 2009-10-1 20:50

wangyangke · 发表于 2009-10-1 20:54

moranhuishou · 发表于 2009-10-2 00:27

明日自驾游，目的地厦门鼓浪屿。

moranhuishou · 发表于 2009-10-5 10:25

昨晚10点多才回来，先顶一顶此帖。

luyuanhong · 发表于 2009-10-5 13:51

moranhuishou 在第 2 楼中的证明思路是对的，但是，由于没有详细的说明，只有一堆数字，恐怕大家都看不懂是什么意思。
希望能看到 moranhuishou 的详细而具体的证明。

moranhuishou · 发表于 2009-10-5 14:13

若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n 必能被 7 整除。
这个规律是：
n= ^ 1 ^2 ^3 ^4 ^5 ^6 ^6m+1 ...  m=1,2,...

1    1  1  1  1  1  1  1...
2    2  4  1  2  4  1  2...
3    3  2  6  4  5  1  3...
4    4  2  1  4  2  1  4...    (左边为各加数项以7为模之余数)
5    5  4  6  2  3  1  5...
6    6  1  6  1  6  1  6...
余数和 21 14 21 14 21 6  21 （mod7）
只有当n=6m时1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n 各项余数和=6不能被7整除。

wangyangke · 发表于 2009-10-5 18:54

问题与求助：费马问题与此类，有什么内在联系？

moranhuishou · 发表于 2009-10-5 19:48

好像与费马没有什么内在联系.

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