【趣题征解】排列组合的问题

Bardo

有10个不相等的素数Pi,Pii,Piii,Piv,Pv,Pvi,Pvii,Pviii,Pix,Px，分为两组，两组数的个数可以不相同，但任一组最少要有一个数。并使其两组乘出结果分别存入A，B中，这样称为一组解。
那么，A，B共有多少组解？

bardo

如此简单的题目居然没有人响应?

熊一兵

题难了大家做不了,题简单了大家不愿做,有点象比赛,对手太差太强你都不愿比

bardo

问题是，此题对于某些人而言，可能真的不简单。因为，此题最键的点是分析。
如果问题分析透彻，那么，就是套用公式的事了。
如果不能把问题分析清楚，那么，真如一头雾水。
所以，此题乃测重问题的分析。而不在于其它技巧。

luyuanhong

下面引用由Bardo在 2009/10/01 11:36pm 发表的内容：
有10个不相等的素数Pi,Pii,Piii,Piv,Pv,Pvi,Pvii,Pviii,Pix,Px，分为两组，
两组数的个数可以不相同，但任一组最少要有一个数。
并使其两组乘出结果分别存入A，B中，这样称为一组解。
那么，A，B共有多少组解？

每个素数都可以有两种选择：放入 A 组，或放入 B 组。这样，10 个素数，就共有 2^10＝1024 种不同的组合方法。
但是，由于规定任一组至少要有一个数，所以“10 个数都在 A 组”“10 个数都在 B 组”的 2 种情形要排除在外，
这样，符合要求的组合就应该有 1022 种。
由于 10 个素数各不相同，每一种不同的组合对应于一组不同的解，所以本题共有 1022 组解。

bardo

[这个贴子最后由Bardo在 2009/10/03 11:33pm 第 1 次编辑]

谢谢陆教授。其实，这个题目有一个最简单的思路，那就是，只考虑A组。这样的话，剩下的B组就可以不用考虑，但是，A组最多只能取9个数进行组合。所以，按此思路，直接代入公式：
Cnm=Pnm/Pmm=n!/m!(n-m)!；
则有：
C=10!/[(10-1)!*1!]+10!/[(10-2)!*2!]+10!/[(10-3)!*3!]+10!/[(10-4)!*4!]+10!/[(10-5)!*5!]+10!/[(10-6)!*6!]+10!/[(10-7)!*7!]+10!/[(10-8)!*8!]+10!/[(10-9)!*9!]
=1022
当然，陆教授直接分析出结果的方法，也是相当不错的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 bardo 在 时添加 -=-=-=-=-
按此思路，可以方便地解决多组组合的的问题。