【趣题征解】证明：任意四边形 ABCD 的面积 S≤(AC^2+BD^2)/4 。何时等号成立？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/05 11:35am 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：任意四边形 ABCD 的面积 S≤(AC^2+BD^2)/4 。并问：何时等号成立？

申一言

回:何时等号成立？
    显然ABCD为正方形时成立!
    S=1"
    AC^2=(√2)^2=2"
    BD^2=(√2)^2=2"
    S=(AC^2+BD^2)/4
     =(2"+2")/4
     =1"
      

luyuanhong

下面引用由申一言在 2009/10/05 00:16pm 发表的内容：
回:何时等号成立？
    显然ABCD为正方形时成立!
    S=1"
    AC^2=(√2)^2=2"
...

假如 ABCD 不是正方形，等号能不能成立？

kanyikan

考虑凸四边形的情况。
设各边的中点为WXYZ,
则四边形WXYZ为平行四边形，且WX//AC,XY//BD，WX=AC/2,XY=BD/2，
又设AC和BD的夹角为α，
因此，
  S(ABCD)
＝2S(WXYZ)
＝2WX*XY*sin(α)
≤2WX*XY   (α=90°时等号成立)
≤WX^2+XY^2 (WX=XY时等号成立)
=(AC^2+BD^2)/4
所以，当四边形的对角线垂直且相等时等号成立。

luyuanhong

楼上对凸四边形的证明很正确。
对于凹四边形，是不是也可以证明呢？

申一言

下面引用由luyuanhong在 2009/10/05 00:23pm 发表的内容：
假如 ABCD 不是正方形，等号能不能成立？

      俺认为矩形也差不多?
      教授您别生气,俺没继续去证!
                                          谢谢您的质问!

luyuanhong

下面引用由申一言在 2009/10/05 00:41pm 发表的内容：
      俺认为矩形也差不多?

你画一个长为 4 、宽为 3 的矩形，看看等号成立不成立。
你再画一个每边长为 5 、有一条对角线长为 6 的菱形，看看等号成立不成立。

申一言

下面引用由luyuanhong在 2009/10/05 01:43pm 发表的内容：
你画一个长为 4 、宽为 3 的矩形，看看等号成立不成立。
你再画一个每边长为 5 、有一条对角线长为 6 的菱形，看看等号成立不成立。

     1. 3^2+4^2=5^2
        3*4=12
        50/4=12.5
     2.S=4(12/2)=24
       36+64=100
       100/4=25
       25≠24.
   看来只有正方形时等号成立!
                             谢谢陆教授的指点![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
对!
   这就是天圆地方的内接正方形的面积等于外切正方形的1/2.
     因为内接正方形的对角线长(单位)等于外切正方形的边长(单位)!

luyuanhong

下面引用由申一言在 2009/10/05 02:39pm 发表的内容：
看来只有正方形时等号成立!

下面这个四边形 ABCD ，显然不是正方形。
其中 AC⊥BD ，AO＝4 ，BO＝3 ，CO＝1 ，DO=2 。
请你再看看式子 S＝(AC^2+BD^2)/4 中的等号是不是成立？

申一言

  AC^2+BD^2=25"+25"=50"
  Saob=2*6/2=6"
  Saod=2*4/2=4"
  Sboc=1*3/2=1.5"
  Sdoc=1*2/2=1"
  S=6"+4"+1.5"+1"=12.5"
  (AC^2+BD^2)/4=50"/4=12.5".
是的!
正确!
         俺在陆教授的指导下,又学到了不少知识!
                                                     谢谢![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-

  看来与对角线互相垂直有关系?