对傅里叶级数的吉布斯（Gibbs）现象的一点疑问。

fm1134

wanwna

定理不是明确指出了,连续点收敛于f(x)吗?

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/12 09:38pm 第 2 次编辑]

下面我用一个图来说明 Gibbs 现象到底是怎么一回事，你看了以后也许就能明白了：

tnjian

我对陆教授回帖的高质量和图文并茂深感佩服。本来也想找这样的吉布斯的图的，后来找不到。

fleurly

没准陆老师的图是用matlab给画的.......

tnjian

matlab么？陆老师每次画图给出代码吧，我来学习下。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/12 06:41pm 第 1 次编辑]

我作比较复杂的几何图形和画函数图像时，主要是使用一个叫“Cabri II Plus”的软件，这个软件可以到下列网址去下载：
http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html
在网页上“Windows Vista/WinXP/2000/Me/98/NT4”下面“English”右边，点击“Cabri II Plus”，
就可以下载一个30天免费试用的英语版的 Cabri II Plus 的安装文件。
安装完毕后，每次运行都要问是否注册，只要选择“Registation/Activation later”就过去了。
关于 Cabri II Plus 的详细使用说明，见下面的附件：“软件Cabri使用说明.doc”
免费试用版的 Cabri II Plus ，过了30天试用期以后，有些功能（主要是“保存”，“复制”的功能）就不能用了。
但是可以用 IrFanView 软件（这个软件可到网上去下载）用屏幕截图的方法，把 Cabri II Plus 中的图形截取下来。
然后，将截取到的图形拷贝到 “画图”（MsPaint.exe）软件中去，作一些修改加工后，保存为“*.GIF”格式的图形文件
（也可以保存为其他格式的图形文件，但我发现GIF格式的图形文件最小，上传最快）就可以上传到论坛了。

tnjian

谢谢陆老师。我看看

fm1134

一方面，随着项数n的增大，对于每一点x，傅里叶级数最终都会收敛于f(x)（间断点
收敛于[f(x+0)+f(x-0)]/2）；另一方面，不论n取多么大，过冲点却始终存在着，这
样一来，就至少有一个点（过冲点）不收敛于f(x)。这两方面在逻辑上明显是矛盾
的。或者说，当n→∞时，过冲点跑到哪里去了呢？是否会消失了呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/27 04:48pm 第 3 次编辑]

下面引用由fm1134在 2009/11/27 02:43pm 发表的内容：
一方面，随着项数n的增大，对于每一点x，傅里叶级数最终都会收敛于f(x)（间断点
收敛于/2）；另一方面，不论n取多么大，过冲点却始终存在着，这
样一来，就至少有一个点（过冲点）不收敛于f(x)。这两方面在逻辑上明显是矛盾
的。或者说，当n→∞时，过冲点跑到哪里去了呢？是否会消失了呢？

这个问题，如果从“非标准分析”的观点来看，很容易回答：
按照“非标准分析”的观点，当 n→∞ 时，也就是当 n 是一个无穷大正整数的时候，
过冲点的位置，落在与 x0 点的位置相差一个非零无穷小量的地方。
因为无穷大正整数并不是只有一个，而是可以有大大小小各种不同的值，所以，
对于不同的无穷大正整数 n ，对应的过冲点的位置也不一样。正整数 n 的值越大，
过冲点的位置就越靠近 x0 点，但它永远不会与 x0 点重合，而是相差一个非零无穷小量。

如果从传统的标准的微积分观点来看，这个问题就很难回答了。
因为，按照标准的微积分观点，是不承认有小于任何正实数的“非零无穷小量”存在的。
对于任何一个与 x0 相差一个确定的正实数值的点来说，当 n→∞ 时，Fourier 级数
在这点处都是收敛的，所以，当 n→∞ 时，过冲点的位置不可能落在这样的点上。
同时，当 n→∞ 时，在 x0 点的 Fourier 级数必定收敛于 [f(x0+0)+f(x0-0)]/2 ，
所以，当 n→∞ 时，过冲点的位置也不可能落 x0 点上。
按照标准的微积分观点，除了这两种点，不可能再有其他点了，那么，过冲点到哪里去了呢？
难道消失了吗？为什么会一下子消失了呢？这样的问题，确实很难回答。