上确界

andei

[这个贴子最后由andei在 2009/10/13 10:52pm 第 1 次编辑] f在[a,b]上连续,并且f(a)=f(b)=0.存在a0. 如何证明集合A={x:a<=x<=x[sub]0 [/sub],f(x)=0}的上确界c满足f(c)=0

andei

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elimqiu

下面引用由andei在 2009/10/13 08:44pm 发表的内容： f在上连续,并且f(a)=f(b)=0.存在a0. 如何证明集合A={x:a<=x<=x0 ,f(x)=0}的上确界c满足f(c)=0

若不然， |f(c)| > 0, 令 ε= |f(c)|/2, 则有 δ > 0 使 |x -c| < δ时 ||f(x)|-|f(c)|| ≤ |f(x) - f(c)| < ε= |f(c)|/2, 于是 c-δ< x ≤c 时恒有 |f(x)| > |f(c)|/2 > 0 这说明 c 不是A={x:a<=x<=x0 ,f(x)=0}的上确界。这个矛盾说明|f(c)| > 0不成立。即f(c)=0。

fleurly

下面引用由andei在 2009/10/13 08:44pm 发表的内容： f在上连续,并且f(a)=f(b)=0.存在a0. 如何证明集合A={x:a<=x<=x0 ,f(x)=0}的上确界c满足f(c)=0

闭区间上的连续函数必定一致连续。

andei

下面引用由elimqiu在 2009/10/13 09:25pm 发表的内容：
     c-δ< x ≤c 时恒有 |f(x)| > |f(c)|/2 > 0
这说明 c不是上确界

为什么|f(x)| > |f(c)|/2 > 0,c就不是上确界阿

fleurly

下面引用由andei在 2009/10/14 07:15pm 发表的内容：
为什么|f(x)| > |f(c)|/2 > 0,c就不是上确界阿

因为此时符合条件 c-δ< x ≤c 的x满足f(x) >0,也就是说， 这些x不在A中。 就是说所有A的x都满足x≤c-δ. 因此c不是A的上确界， A的上确界a应该满足 a≤c-δ