【趣题征解】证明：若对任何 a,b，有│f(a)-f(b)│≤(a-b)^2，则 f(x) 必恒等于常数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/28 05:18pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：若对任何 a,b，有│f(a)-f(b)│≤(a-b)^2，则 f(x) 必恒等于一个常数。

wangyangke

胡思乱想，为师长娱笑：
1,设x阶与y阶同，题设有，高阶无穷小大于同阶无穷小；违背常理，只有y变量为0；
2，设x阶高于y阶，分析同上；
3，设x阶低于y阶，x变化越大，y变化大和变化小，都会出现；题设，仅一种情形；违背常理，只有y变量为0；

lethe

ls知道阶的定义么？
f(x)/g(x)->0,g(x)->0那么叫f(x)是比g(x)高阶的无穷小
->1就是同阶
->inf就是低阶
敢问这题哪里有了这些东西了？
而且我告诉你，就是存在两个趋于0的函数他们不能比较阶的大小，即f/g的极限不存在。所以你还没讨论不能比较阶的情况

这题用中值定理秒杀

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2009/10/29 03:42am 第 1 次编辑]

楼上：
    2楼陈述有些不清楚处；其1，2，3条依次表示如下情形

      如其第一条---------
      1,设x阶与y阶同，题设有，高阶无穷小大于同阶无穷小；违背常理，只有y变量为0
；
       是说y与x是线性关系；由题设│f(a)-f(b)│≤(a-b)^2，则在x的变化a-b是无穷小时；-----------题设，显示出
      一阶无穷小│f(a)-f(b)│        ≤          二阶无穷小(a-b)^2，

wangyangke

题设表示：

从绝对值讲 ，即该曲线的
任一处的任意两点的斜率都是无穷小；该曲线为直线

elimqiu

这样的函数的导数恒为0。于是它是常数。

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2009/10/29 02:43am 发表的内容：
这样的函数的导数恒为0。于是它是常数。

楼上 elimqiu 的思路很正确，下面是按照这个思路写出的完整证明：