[总结]推广的等腰三角形判定理

ccmmjj

定理1：两中线长相等的三角形是等腰三角形。4>9hK
推广定理1a：若有两点分三角形两边的比例相等，且它们到对顶点的连线段相等，则此三角形为等腰三角形。!b#77
定理2：两高长相等的三角形是等腰三角形。`
推广定理2b：若三角形两边上各有一点与两顶点共园且它们到对顶点的连线段相等，则此三角形是等腰三角形。/
定理3：两角平分线相等的三角形是等腰三角形。j
推广定理3c：三角形内若有两分角成比例的线段相等，则此三角形是等腰三角形。^
定理1a的证明：借用5楼的图，由AF/FB=AE/EC，得EF平行于BC，四边形EFBC是梯形。由EB=FC，得对角线相等的梯形是等腰梯形。得角ABC=ACB，知AB=AC。jzZx:
定理1a的推广：如果引入有向线段，这个比值可以是负数，但要排除一个数（请思考）Z&
定理2b的证明：先说明同圆内相等的两弦轴对称，两对称点连线必垂直于对称轴，故互相平行。所以其形成的四边形必为等腰梯形或矩形。如本题它不可能是矩形。同上。m!
定理2b的推广：共圆点可以在三角形边的延长线上。}
定理3c：三角形内若有两分角成比例的线段相等，则此三角形是等腰三角形。
证明：
定理3c能否推广到三角形外，我尚未研究。愿有识之士试试。

kanyikan

下面引用由ccmmjj在 2009/10/29 04:56pm 发表的内容：
定理1：两中线长相等的三角形是等腰三角形。4>9hK
推广定理1a：若有两点分三角形两边的比例相等，且它们到对顶点的连线段相等，则此三角形为等腰三角形。!b#77
定理2：两高长相等的三角形是等腰三角形。` ...

证明好像有漏洞！
于是......，好像没有根据！

ccmmjj

不知老兄说的是哪一步？我的证明都有过验证，经过简化处理后，一般不易看懂。不过我可以为你解释。只是明后天我没空闲，luyuanhong老师是个热心人，如果肯做出详细的证明诠注，我将十分感谢。

ywl

[这个贴子最后由ywl在 2009/10/31 00:51pm 第 1 次编辑]

   楼主题目条件中的角字母标注有误。但证明很精妙，是属于高、精、简。

luyuanhong

下面是我对推广定理 3c 的证明：

ywl

   推广定理3c：三角形内若有两分角成比例的线段相等，则此三角形是等腰三角形。^
   由楼主的这个推广命题我猜想到一个全等命题：两边对应相等且夹角与对应三角形另一个角对应成比例的两三角形全等。

ywl

[这个贴子最后由ywl在 2009/10/31 07:13pm 第 1 次编辑]

   图中BD、CE的交点在∠A平分线上,(1)BD=CE 时△ABC等腰;(2) AB^n+AD^n=AC^n+AE^n 时△ABC等腰.

ccmmjj

完成了两天无聊的全民健身的比赛，腰酸背痛。终于可以看一看我的贴子了。
首先，要感谢luyuanhong 老师给出的新证明。虽然它不是我原想要的我的证明诠注。其次，要谢谢 ywl  同志（我想也是老师）对我证明的肯定，并提出了两条新的命题，值得同好们研究几天，如有结论，当用新主题来发表。
最后，我还想问一问 kanyikan 老兄，疑问是否解除？如尚未，可以讨论，解释。老兄在我眼中一向是纯几何的高人，在下很愿意与你畅论几何问题。

kanyikan

下面引用由ccmmjj在 2009/11/02 10:41am 发表的内容：
完成了两天无聊的全民健身的比赛，腰酸背痛。终于可以看一看我的贴子了。
首先，要感谢luyuanhong 老师给出的新证明。虽然它不是我原想要的我的证明诠注。其次，要谢谢 ywl  同志（我想也是老师）对我证明的肯定 ...

疑问还没消除，在第1楼的证明中，“于是EC>BD”很像没有什么根据！

ccmmjj

下面引用由kanyikan在 2009/11/02 11:24am 发表的内容：
疑问还没消除，在第1楼的证明中，“于是EC>BD”很像没有什么根据！

和我想的一样,果然是这一步.有一个三角形的定理说:如果两三角形有两边对应相等,那么夹角大的第三边更长.不知你是否见过?它是余弦定理的直观描述.纯几何证明要用到移动各大角对大边的有关定理.