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非标准分析（nonstandard analysis）理论，是由美国逻辑学家罗宾逊（Robinson）在 1960 年代初期建立起来的。
Robinson 用数理逻辑的理论和方法，严格地证明了：实数系 R 可以扩充到超实数系 R* ，不会产生任何矛盾。
所以说，由 R 扩张到 R* 的问题，已经由 Robinson 完全彻底解决了，这一点，现在的数学界没有任何疑义。
但是，Robinson 的一套证明，用到大量数理逻辑工具，非常深奥复杂，一般的人，即使是搞数学的人，都很难看懂。
为了能让普通人，特别是初学微积分的大学生，都能掌握非标准分析这个有用的数学工具，数学界作出了不少努力。
其中的一种办法，就是把从 R 到 R* 的扩张，作为公理提出，这样就可以避免复杂难懂的证明，学生也容易接受。
例如，在孙广润著的《非标准分析概论》（科学出版社，1995年出版）中，提出了下列“转换原理”：
设 Φ 是超结构 V(R) 中的一个陈述，如果 Φ 在形式语言 L 中，是有界语句（或公式），则 Φ 成立的
必要与充分条件，是它的 * 转换 Φ* 在超结构 V(R*) 中成立。
当然，这样的叙述，还是比较深奥，什么是“超结构”“形式语言”“有界语句”等等，还需要作详细说明和解释。
又例如，在 Keisler 著的《Foundations of Infinitesimal Calculus》（1976年出版）中，提出下列定义和公理：
定义 一个项（term）是一个式子，它可以用以下法则建立：
（1）每一个变量是一个项；
（2）每一个实常数是一个项；
（3）若 t1,t2,…,tn 是项，f 是 n 元实函数，则 f(t1,t2,…,tn) 也是一个项。
由两个项 f,g 组成的式子 f＝g 称为方程，而形如 f≤g,f＜g,f≠g 的式子称为不等式。
一个方程或不等式称为公式（formula）。由有限个公式组成的集合，称为公式系统（system of formulas）。
设 s 是一个包含变量 x1,x2,…,xn 的公式系统，(c1,c2,…,cn) 是常数，如果当用 ci 代替 s 中的 xi 时，
s 中的每一个公式都成立，那么，就称 n 元数组 (c1,c2,…,cn) 是公式系统 s 的解。
公理1 R 是一个完备有序域。
公理2 R* 是有序域 R 的真扩充。
公理3（函数公理） 对于每一个 n 元实函数 f ，必有一个对应的 n 元超实函数 f* ，f* 称为 f 的自然扩充
（natural extension）。R* 中的域运算，是 R 中的域运算的自然扩充。
公理4（解公理） 如果两个公式系统，恰好有相同的实数解，那么，它们必定也有相同的超实数解。
Keisler 的公理系统，比较容易被初学微积分的大学生理解和接受，但还是有点复杂。
我在《数学中国》中发表的一系列介绍“非标准分析”帖子，也是努力想找到一种更加通俗易懂的方法，
使得大家都能比较容易接受和掌握“非标准分析”这个非常有用的数学工具。
我的基本想法是：在实数系 R 中，只要引入一个无穷大正整数 Ω ，就可以使实数系 R 扩充为超实数系 R* 。
R 中的实数运算（不仅是加减乘除这样的域运算，还有指数、对数等等），都可自然地扩充为 R* 中的超实数运算。
R 中的实函数，都可自然地扩充为 R* 中的超实函数。于是，整个一套非标准分析的推理、运算方法都可以建立起来。
这就类似于，在实数系中，只要引入一个虚数单位元 i ，就可以使得实数域 R 扩充为复数域 C 。
R 中的实数运算，都可自然地扩充为 C 中的复数运算。R 中的实函数，都可自然地扩充为 C 中的复变函数。
于是，整个一套复数、复变函数的推理、运算方法都可以建立起来。
目前，在中学里开始介绍复数，在大学里开始讲复变函数，都非常简单自然，根本用不到域扩张那一套复杂的理论。
我想，非标准分析也应该是这样。
欢迎大家与我一起来努力。 |
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发表于 2009-11-8 17:53
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发表于 2009-11-8 21:04
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