[求助]恳请各位老师帮忙构造一个四元函数

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2009/11/12 03:59pm 第 2 次编辑]


    请构造一个四元函数Y=F(X1,X2,X3,X4)，使之[color=#FF0000]同时满足下列条件:
    1。0≤Xi≤100，（i=1,2,3,4），
    2。X1,X2,X3,X4中任意两个变量交换，函数值都不变.
    3。F(90,0,0,0)=F(80,80,0,0)=F(70,70,70,0)=F(60,60,60,60)
    4。X1,X2,X3,X4中任意固定三个变量，得到的一元函数是严格的单调函数。
    5。四元函数Y=F(X1,X2,X3,X4)的解析式，最好是常见的函数解析式，不希望出现类似“狄里克雷”等特殊函数的形式。
    谢谢大家~~

[color=#00FFFF]ps：题目背景
一次选拔人才，进行四项考试，分数范围为0~100分。
是否录取某人，其思路是：
四项都及格（≥60分），
或三项都≥70分，
或至少两项良好（≥80分），
或至少有一项优秀（≥90分）。
如果某人四项成绩为89，78，65，54，那么该怎么思考是否录取此人呢？
于是想到构造一个四元的函数……
想了很久，终没得到满意的函数，特恳请各位朋友的帮助。

luckylucky

个人直觉。不一定正确。好象不存在吧。一时没想到好的证明方法。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/11/13 11:46am 第 1 次编辑]

drc2000

很久没和赵老师探讨数学问题了。感谢您的回帖。
原问题中定义域为0≤Xi≤100，（i=1,2,3,4），
请问您给出的函数中，f(63,0,0,0)值为多少?

zhaolu48

drc2000

谢谢赵老师.
不过定义域似乎还是比{Xi|0≤Xi≤100,i=1,2,3,4}要小些.

zhaolu48

>不过定义域似乎还是比{Xi|0≤Xi≤100,i=1,2,3,4}要小些.
没有吧，
　　比如第一段函数，自变量可取的最大整数是(69,69,79,89)（及所有排列），最小是(0,0,0,0)，且可取之间的任何值。
　　第二段函数，自变量可取最大值为(79,79,79,89),最小值为(70,70,70,0)。
　　第三段函数，自变量可取最大值为(89,89,89,89),最小值为(80,80,0,0)。
　　第四段函数，自变量可取最大值为(100,100,100,100),最小值为(90,0,0,0)。
因此我自认为，这个函数是比较完美的，以至于无可挑剔。

drc2000

谢谢zhaolu48老师.

musicbug88

用贝塞尔曲线逼近比较好。F(x1,x2,x3,x4)=G(x1)+G(x2)+G(x3)+G(x4),
G(x)单调递增就满足楼主的要求了。
G(0)=0,G(60)=30,G(70)=40,G(80)=60,G(90)=120
拟合G(x)就可以了，用贝塞尔曲线较好，光滑，能保证二阶导数连续。我用AutoCAD连了一下。方法有了，写不写出表达式就不重要了。

drc2000

谢谢musicbug88先生。。。