请教luyuanhong老师一个级数收敛问题

数学小不点

请问luyuanhong老师：
    如果级数a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2+...收敛于A,级数b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2+...收敛于B,其中所有的字母表示实数，那么，级数a1b1+a2b2+...+anbn+....是不是一定收敛呢？如果此级数收敛，如何能够求出其收敛值呢？请指教一二！

gaojingang

建议用公式编辑器！

数学小不点

用公式编辑器不能证明收敛值的存在性与唯一性，从纯粹的数学证明来看，如何确定其存在性但不求出其值，也是很有意义的，算法很多时候，没有纯理论有更大的生命力。

luckylucky

[这个贴子最后由luckylucky在 2009/11/13 01:34am 第 1 次编辑]

一定。因为你前面两个表达式的每项是X^2。所以每项大于0。因此A>=0 ,B>= 0。而你后面的表达式数的每项的绝对值小于前者两项表达式对应项的和。因此只会在  -（A+B）/2 和 （A+B）/2之间。

数学小不点

您讲的有道理，只是如何给出从定义出发、严格的、符合学术规范的级数证明，尚需要认真思索之！是不是一定收敛呢？如何确定这个收敛值？还是无法确定？可能左右摇摆呢？对于无穷递缩等比数列，这个问题是容易解答的，对于其它情形，不知有没有严格的证明，这当然也是重要的，大学课本讲的不甚显然。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
我的意思是说：是否，对于平方和一定的任意规律的实数级数，均有此结论，不论是否是无穷递缩等比数列，有没有不确定的情形存在呢？

luckylucky

不确定不可能。你可以从收敛的定义上来证明。把上面的比较带入。

数学小不点

谢谢，那就需要首先承认平方和为定值的，按照一定规律排列的上述级数，其乘积结果必为一定值，然后比较得出其可能的范围，最后，下个结论。
您看，这样做，如何呢？好像仍觉有些不妥。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
研究数学，有时像学习圣经，上帝说：要有光，于是就有了光！你相信，或者说，你承认，无穷乘积和是一个定值，于是就能最终找到这个值，数学看来与神学也有着某种联系。如果你不准备承认有这个定值，而又确实无法找到这个定值，问题就麻烦大了，奇怪！

luyuanhong

这个问题解答如下：

数学小不点

好！谢谢luyuanhong的解答，我一直困惑于他们可能有不确定的情形，但苦于无法找到例证，luyuanhong老师的解释，终于使我茅塞顿开，谢谢了！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
不对，luyuanhong老师是否没有注意到原题给的条件不同，是平方和级数为定值，不是任意数的和，乘积给出的结果倒是不错的。注意是平方和级数为定值，这与任意数的和是不一样的。

数学小不点

luckylucky 先生的结论是对的，不过，经仔细研究，原来要用到如下定理才行：
如果一个级数的各项绝对值所构成的级数收敛，则此级数收敛，里面要用到一定的级数变换技巧才行，一个重要的级数概念是：所谓级数的绝对收敛与条件收敛，我终于最后搞明白了！谢谢luckylucky ！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
最有趣的是，虽然其极限值未必能求出，但单调增加的有界数列必有极限的结论，竟然总是对的，上帝有意隐藏了一些小奥秘，但大概他老人家并无恶意吧。