[讨论]关于傅里叶展开式？

请教数学达人

∑1~∞（1/n^2）通过傅立叶展开式可以得到：
1+1/(3^2)+...+1/(2n-1)^1=π^2/8
设1+1/(2^2)+...+1/(n^2)=A，1/(2^2)+...+1/(2n)^2=B
很明显，B=A/4
所以π^2/8+B=A
解得A=π^2/6
通过傅里叶是怎么展开第一个式子的？

luyuanhong

下面是大数学家 Euler（欧拉）在1734年给出的对公式 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…＝π^2/6 的证明。
这个证明是很机智也是很大胆的。
因为他把有限次代数方程中有限个根与系数的关系，直接套用到超越方程中无限个根与系数的关系上去。
从现代数学的观点看，不能算是一个严格的证明（后面我将给出现代数学中的严格的证明）。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/25 06:50pm 第 1 次编辑]

下面是现代数学中对公式 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…＝π^2/6 的严格证明：

luyuanhong

下面是对公式 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…＝π^2/6 的另一种证明：

luyuanhong

下面证明公式 1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+…＝π^2/8 。
由这个公式，很容易推出 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…＝π^2/6 。

请教数学达人

太佩服陆老师了~~~谢谢你这么尽心的解答。！