[原创]线性不定方程解的组数大会餐

白新岭

[watermark]今天先写出结果，以后在逐步分析论证。当然有兴趣的可以先证为快。
在写结果前，先明确一些术语，符号等的含义。因为我不会用数学公式软件，所以好多形式的式子不能写上来。
式子：C(n,m)=n!/m!/(n-m)!,P(n,m)=n!/(n-m)!,用√n表示n的开方，用S(n,m)表示方程x+2y+3z+.....+mu=n的正整数解的组数，此方程有m个未知数（或变量），未知数的系数皆为正整数，正好是从1到m;  用∑[S(n-bm,m-1)]表示有原方程x+2y+3z+.....+mu=n拆分成m-1元的所有方程解的组数总和，即令u=1,2,3,..b....直到n-bm不小于0以前。例如m=5,n=32时，可以有x+2y+3z+4v+5u=32拆分成x+2y+3z+4v=27（u=1)，x+2y+3z+4v=22（u=2)，x+2y+3z+4v=17（u=3)，x+2y+3z+4v=12（u=4)，x+2y+3z+4v=7（u=5)，x+2y+3z+4v=2（u=6)，当然后两个方程已没有正整数解了；整数拆分用数学专用符号P(n),而Pj(n)是把n拆分成j个数；用t表示周期值，用T表示周期；用Ft(B,m)表示符合条件的基本剩余元素在m元的加法合成方法中在t周期出现的次数（即合成方法数），例如，一个限制条件为5，即参与加法运算的元素不能整除5，那么在周期T=5的情况下，符合条件的基本剩余元素个数为5-1=4个，分别为1，2，3，4；用这4个元素进行2元加法合成（这时就是m=2），下边进行基本剩余元素的2元加法合成：
   1   2   3  4
1  2   3   4  5
2  3   4   5  6
3  4   5   6  7
4  5   6   7  8
这里第一行与第一列是参与2元加法合成运算的基本剩余元素，其余部分为合成值，
合成值   出现次数
   2         1
   3         2
   4         3
   5         4
   6         3
   7         2
   8         1
从上面可以看出当t=1时，F1(1,2)=0即基本元的2元加法合成没有合成1，F1(2,2)=1,F1(3,2)=2,F1(4,2)=3,F1(5,2)=4;
当t=2时，F2(1,2)=3,因为6≡1（mod5），F2(2,2)=2,因为7≡2（mod5），F2(3,2)=1,因为8≡3（mod5），F2(4,2)=0,因为9≡4（mod5），F2(5,2)=0,因为10≡5（mod5）。
一般来说，几元加法合成，其合成值就会落到几个周期上，这里是2元加法合成，所以合成值落到两个周期上，如果是6元的合成，最大值为4，最多加6次，得出4*6=24，这样就会落到5个周期以内，还有最小合成元1，加6次，会落到第二个周期上，所以合成值不一定能分布到m个周期上，这里用了大写字母F做了合成方法值的符号，是因为这种合成方法是不足整体1的基本剩余元素参与合成的；如果把满周期的t，以整体T分配到不同的未知数上，则分配方法为t(k-t+m,m-1)=Ct(k-t+m,m-1),它表示满整体1的带数值分配到对应周期的方法数，举例把，x+y=503，条件是x,y不能整除5，则周期为:INT((503-1)/5)=100,即当第一步，基本元进行加法合成后，然后以5个数为一个整体把这500，相当于100个5分配到x,y上，在第一周期有Dt(k-t+m,m-1)=Ct(k-t+m,m-1)=D1(100-1+2,2-1)=C1(100-1+2,2-1)=C1(101,1)=101,在第二周期有Dt(k-t+m,m-1)=Ct(k-t+m,m-1)=D2(100-2+2,2-1)=C1(100-2+2,2-1)=C1(100,1)=100。[/watermark]

白新岭

如果是单条件，则无论多少元加法合成其不定方程解的组数容易表示：
原以为基本元素的m元加法合成运算的分布值可以有可重回复排列公式解决，即Ft(B,m)=H(B-1+m(t-1),m-1),实际上不相等，这里有个问题，就是可重复排列值是对所有元素的可重复排列而言，而这里基本元素的m元加法合成运算对于具体的余数的出现次数是受到限制的，可重复排列未变，最大的元素受限制。可重复排列的值与基本元素的m元加法合成运算的总方法相同k^m=n^m.

白新岭

在组合论中，定义了不重复排列P(n,k)；可重复排列为：n^k;
            不重复组合C(n,k);可重复组合H(n,k).
   现在我们要定义另一种组合，方程x+y+z+....+u=n的正整数解的组数用S(n-1,m-1)表示，它的非负整数解用S(n+m-1,m-1)表示，则S(n-1,m-1)=C(n-1,m-1);S(n+m-1,m-1)=H(n+1,m-1)=C(n+1+m-1-1,m-1)=C(n+m-1,m-1)。
它们有了对应关系，现在我要规定另一种方程的解：x+y+z+....+u=n,共m个未知数，当未知数的定义域为1-m时，不大于m^2的n值对应的方程正整数解的组数为单限制条件(m+1)时分子的有序拆分方法，或分子n的(m+1)元的加法合成方法，用Ft(n,m+1)表示，t的值为INT((n-1)/(m+1))+1.