[原创]加法合成方法数目函数

白新岭

[watermark]大家知道欧拉函数吗？φ(n)，它表示n内与n互质的个数，当n是质数时，φ(P)=P-1；
现在我规定一种函数，Hm(n，k)=φ(n),m=2时，n为不同质数构成时，而且每个素数出现的
                    dín   dín
次数为1，且k=n。如果k≠n,而k=mod(N,n),即为值N相对于n的余数，设(k,n)的公因数为Pj，则Hm(n，k)=∏φ(Pj)*∏[φ(Pi)-1],注意Pj是它们共同拥有的因子，而Pi只是n拥有，而k不含有，对于k的其它因子不参考（意思是说，如果仅有k含有某个因子，而n并没有此因子时，对此因子不做处理，不予考虑）。对每个因子只做一次处理。
下面是一些具体例子，H2(30，30)=φ(30)=8；H2(30，28)=φ(2）*[φ(3）-1]*[φ(5）-1]=1*1*3=3,因为余数28除因子2与30共同拥有外，不含30的其它因子，所以都要用欧拉函数的值减1；H2(30，20)=φ(2）*[φ(3）-1]*φ(5）=1*1*4=4，因为20与30含有共同因子2，5所以用欧拉函数值，而20不含因子3，所以欧拉函数值去了一个；H2(30，12)=φ(2）*φ(3）*[φ(5）-1]=1*2*(4-1)=6，因为12与30含有共同因子2，3所以用欧拉函数值，而12不含因子5，所以欧拉函数值去了一个.
不知到大家对H2(n，k)函数的定义是否看的懂，这里的n是有限制的，只能有互质数的积构成，不能有相同的因子。数字2代表2元加法运算，类似群的2元运算，说是加法运算，实际上是对符合条件的两个元素做平常加法运算后对n求余数，余数k出现的次数就是此函数的表示值。[/watermark]

熊一兵

[这个贴子最后由熊一兵在 2009/12/13 11:17am 第 1 次编辑]

可以命名为白新岭函数
热烈祝贺由中国人命名的函数！
热烈祝贺数学中国论坛，出现了中国人命名的函数！

白新岭

在哥德巴赫猜想中，合成方法*类别（即n)/总合成方法是有最小极限的（平凡的0除外），即上面的函数在n趋于无穷大时，另n=∏(Pj),所有素数的连乘积，式子为：
n*H2(n，2^b)/∏[(Pi-1)^2]=1.320.........(即孪生素数常数的2倍），对于任意的b值，极限值都是同一个数。

白新岭

加法合成数目函数有解决实际问题的能力。例如H2(70,k)能解决方程x+y=n,在x,y被限制时，x,y不能取2n,5n,7n这样的数，只能取70的互质数，在欧拉函数中φ（70）=φ（2）*φ（5）*φ（5）=1*4*6=24，所以总合成方法为24^2=576,条件的公共周期（最小公倍数为70），当n是公共周期的1000倍以后，其方程符合条件的正整数解的组数=[70*H2(70,k)/576]*[INT(n/70)*φ（70）+φ（70,k）]^2/n,k=mod(n,70),φ（70,k）表示不大于k的，且为70的互质数的个数。
下面举一个实际例子：当n=70036时，k=mod(70036,70)=36,36仅与70有共同因子2，所以H2(70,36)=φ（2）*[φ（5）-1]*[φ（7）-1]=1*3*5=15,[70*H2(70,36)/576]=70*15/576=175/96,[INT(70036/70)*φ（70）+φ（70,k）]^2=（1000*24+12)^2=24012^2,所以解的组数大概为：175/96*24012^2/70036=15007.29
实际组数：8*C(1000+2-1,2-1)+7*C(1000-1+2-1,2-1)=8*1001+7*1000=15008.
相差不到一个。

白新岭

  n
  ∑H2(n,k)=φ(n)*φ(n),所有余数k的加法合成数目函数值的和等于欧拉函数的平方
k=1
这说明各类数的合成数量与总合成数量一样多。

白新岭

当m=2时，加法合成数目函数决定着2个素数和的分布情况。函数值越大，此类数的合成几率就越大，相反这个函数值越小，这类数的合成几率就越小。合成数量与合成几率成正比。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/13 04:27pm 第 1 次编辑] 生成函數 p(n)的生成函數是 ∞ ∞ ∑P(n)*x^n= ∏[1/(1-x^k)] n=0 k=1 當|x|<1，右邊可寫成： (1 + x + x2 + x3 + ...)(1 + x2 + x4 + x6 + ...)(1 + x3 + x6 + ...)... [編輯] Rademacher級數 我不理解生成函数的意思，但是上面的意思可以理解，n的拆分数目*变量x的n次方，在求和，这个级数可以有后边的连乘积代替∏[1/(1-x^k)],现在我们实验一个，另x=0.1,则当n=5时，后边的值为1.123581506（到k=5时止），前边的和式，每步P(n)*x^n的缩小10倍，所以P(0)=1，P(1)=1，P(2)=2，P(3)=3，P(4)=5，P(5)=8。 这样有点断章取义，不过不影响结果。如果有更高位有效数字的计算机可以计算出前边小点的函数值P(n),这时另x=0.001,主要是要对P(n)的值有一个位数估计就好了，知道到某个数的分拆数目不上某位数，就可以设置x的取值了。

bardo

确实是一个非常了不起的创新

重生888

得到Brado的认可，一定了不起！祝贺！

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/14 10:18am 第 1 次编辑] 在7楼我提到了p(n)的生成函數：现在做点分析，我们学过等比数列，例如1，p,p^2,p^3,.....p^n,当0<ㄧpㄧ<1时，无穷等比数列的和为1/（1-p),这样1/（1-p^k),当0<ㄧpㄧ<1， 1/（1-p^k)=1+p^k+p^2k+p^3k+.......p^nk,即对于任何一个式子1/（1-p^k)，都可以展开为无穷等比数列的和，首项为1，公差为p^k. 于是我们得到∏[1/(1-x^k)]的展开式子为∏（1+x^k+x^2k+x^3k+......x^nk),继续展开为p(0)*1+p(1)*x+p(2)*x^2+.....+p(n)^x^n=∑P(n)*x^n, 从最后的展开式中可以看出P(n)的值为1x+2y+3z+......+nu=n的非负整数解的组数，这个结论以前luyuanhong教授给出过证明，我也用方程的解做过分析与论证。 这里有链接：