分析的两个证明

zjiannanbjtu

证明分析的两个结论

luyuanhong

两个向量 a 与 b 的叉积 a×b ，只对三维向量有定义。
而两个向量 a 与 b 的外积 a∧b ，对任何维的向量都有定义：
两个 n 维向量 a 与 b 的外积 a∧b ，可以看作是一个“有方向的面积元”，
外积 a∧b 的大小，等于 a 与 b 张成的平行四边形的面积，
a∧b 的方向，就是 a 与 b 张成的有正反面的平行四边形平面的方向。
在三维空间中，一个有正反面的平面的法向量的方向，是唯一确定的，
所以，在三维空间中，一个“有方向的面积元”，可以唯一对应于一个向量，
这个向量的模长，等于 a 与 b 张成的平行四边形的面积，
这个向量的方向，就是 a 与 b 张成的平行四边形平面的法向量的方向。
恰好，在三维空间中，两个向量的叉积 a×b ，就是这样定义的一个向量。
所以，在三维空间中，可以认为外积 a∧b 与叉积 a×b 在这个意义上是等价的。
但是，在三维以上的空间中，一个平面的法向量方向有无数多个，不是唯一确定的，
而且，在不是三维的空间中，向量的叉积 a×b 是没有定义的。
所以，除了三维空间以外，一般来说，不能认为外积 a∧b 与叉积 a×b 是等价的。

zhaolu48

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