[讨论][分享]一道数论题

elimqiu

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设 a,b,c,d 为正整数， ab = cd, 证明或否证： a^2+b^2+c^2+d^2 不是素数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/02 11:18am 第 1 次编辑]

题  设 a,b,c,d 为正整数，ab＝cd , 证明：a^2＋b^2＋c^2＋d^2 不是素数。

证  设 p＝(a,c) 是 a,c 的最大公约数，则必有 a＝pr ，c＝ps ，r,s 是互素的正整数。
因为 ab＝cd ，所以有 prb＝psd ，即有 rb＝sd ，由于 r,s 互素，所以 b 必为 s 的倍数。
设 b＝qs ，将它代入 rb＝sd ，得到 rqs＝sd ，即有 d＝qr 。
将 a＝pr ,b＝qs ，c＝ps ，d＝qr 代入 a^2＋b^2＋c^2＋d^2 ，得到
    a^2＋b^2＋c^2＋d^2＝(pr)^2＋(qs)^2＋(ps)^2＋(qr)^2
＝p^2 r^2＋p^2 s^2＋q^2 r^2＋q^2 s^2 ＝(p^2＋q^2)(s^2＋r^2) 。
其中 p^2＋q^2 ，s^2＋r^2 都是大于 1 的正整数，可见 a^2＋b^2＋c^2＋d^2 不是素数。

elimqiu

证得好        

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，