再请教luyuanhong老师一个有趣的二次型问题

数学小不点

    在学习积分方程和泛函分析时，遇到了无限元的二次型问题，我百思而不得其解，故又来请教luyuanhong老师，请luyuanhong老师不吝赐教，指点一二！谢谢！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/28 09:17am 第 1 次编辑]

我对这方面也不熟悉。
但是我想，只要二次型是有规律的，可以先考虑 n 是有限的情形。
先对 n 是有限的二次型，求出它的标准型。
然后令 n→∞ ，应该就可以得到有无限多元的二次型的标准型。

数学小不点

那么，哪里可以找到希尔伯特的证明过程呢？有没有这方面比较好的专著可以参考？我想认真研究一下。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
当然，您的建议，先解决有限二次型，这个思路应该是正确的，但我总感觉得出的结论有些不够可靠，因为，从逻辑上来说，总要先证明成立，然后找出例证，一般，先找例证，或者仅指出正确的解法，而不说明之所以可以这样作，似乎有些不够严谨。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
或者，考虑利用数学软件，不知陆老师能否用计算机先解出上面的具体实例呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/28 09:22am 第 1 次编辑]

很抱歉，我对这方面不熟悉，不知道有哪些专著可以参考。
对实例的求解可以看第2楼。

数学小不点

希尔伯特的证明思路我已知晓，谢谢luyuanhong老师的实例，我提出的二次型应该说与希尔伯特的情形尚有一定差别，具体如何解决，我已有成熟的办法。看来，教科书的编写者并未完全搞懂这个理论的深奥之处，又让陆老师多费心了。

数学小不点

luyuanhong老师,看来这还是一个有待开垦的新土地，据了解，目前中科院软件研究所陈国龙老师对此有些研究，他的论文《关于域上无限方阵的逆矩阵》及《关于除环上无限方阵的逆矩阵》已经相继在北师大学报及《应用数学》等杂志上发表，但距离彻底解决问题，还为时甚远，尚远远不能在一般的意义上得出结论，难怪一般的教材对此避而不谈，我想，多看看希尔伯特的原著应当比阅读国内一些的学者的著作肯定会更有收获。

Euclid

希尔伯特的大作啊，数学物理方法，上次pde课程时听老师说的，不知道有没有记错。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Euclid 在 时添加 -=-=-=-=-
不过如果是单独的证明的话可能是发表的论文。

数学小不点

确实是已经发表过的东西，不过，因为我们的论文中用到的只是这个理论中的一个特例，只要能够肯定其确实可以唯一正交分解，我们不难给出一个构造性的算法来实现它，只是我们明白算法永远比存在性的理论证明要差上半拍，所以才希望先彻底搞明白理论，这样得出的结论在逻辑上才能更站得住脚。

Euclid

希尔伯特是存在性阵营的啊，存存的不一定能构造出来的。我们有时很难给出一个构造性的算法来实现它，因为算法或构造可能是不存在的。

数学小不点

问题是我们恰好已经找到了算法，拿出来构造性结果根本不成问题，只是不敢确定理论上是否完全站得住脚，这才想到需要把大师希尔伯特的存在性证明搬出来，如此一切困难就可以由此迎刃而解，注意，即使希尔伯特，他的理论也是有严格的限制条件的：对于全连续、有界的二次型才成立，我随意举出的的例子虽然全连续，但不满足有界，表面简单，其实却不好解。这有些让luyuanhong老师为难了,我也是后来才注意到有如此细微差别，不能随便找个二次型就一定能够可解，这一点也非常重要。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
有时候，验证结果比找到构造性算法更为繁难。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
应该是虽有界连续，但不满足全连续的条件才对！我终于搞懂了，感谢上帝！