最大公约数最小公倍数的定理与计算

zy1818sd · 发表于 2006-1-21 14:22

在温家宝总理的推动下，首届全国民间科技发展研讨会已于是2005年12月17日在长沙召开，会议通过成立了民科促进会组织。首届民科会论文集，成果发布会，民科网站建设都在积极推进中。
首届全国民间科技发展研讨会首批推荐发布成果:
                        最大公约数最小公倍数的定理与计算
                              庄  严  庄宏飞
                           （辽阳铁路器材厂  111000）
  【摘要】本文以简洁实用的角度对最大公约数、最小公倍数的一般定义进行了讨论。本文给出了最大公约数末位相余定理；最小公倍数互为除商定理。新理论将使人类对整数间互素的判定、最大公约数、最小公倍数的计算能力发生质的飞跃。
关键词：末位相余定理、互为除商定理
引言：最大公约数、最小公倍数概念做为数论基础常识，不但被中小学生所掌握，也是数论专业必不可少的教学内容之一。前人在此方面已建立了较完善的理论方法。但是，现今数学上对最大公约数、最小公倍数的计算，是建立在整数分解前提上的方法，所以其计算能力非常有限。本文提出的理论方法，彻底地解决了最大公约数、最小公倍数的实践计算问题。由于多个整数间最大公约数、最小公倍数的性质，都是建立在两整数间最大公约数、最小公倍数基础之上，所以，本文着重讨论两整数间的最大公约数、最小公倍数的性质。
定义1、最大公约数
如a与b都是不为0的整数，存在一整数d是满足d│a，d│b的最大整数，我们称这时的d为a与b的最大公约数。一般记作（a，b）=d，
这里需要说明：当两数最大公约数为1时，一般叫做两数互素。即（a，b）=1；
最大公约数末位相余定理：
定理1，若a与b都是大于1的整数，在如下余数除法关系中：
         a÷b≡c
         b÷c≡d
         c÷d≡e
            …
若得到余数结果为0时，则此算式除数即为a与b的最大公约数；
证：今任取a=33。b=1；我们已知（33，1）=1，由定理关系计算；
   33÷1≡0，    此式余数为0，除数为1；
故所述定理1关系成立
现取a=13，b=13而我们已知（13，13）=13，由定理关系计算：
   13÷13≡0，    此式余数为0，除数为13；
                                       所述定理关系仍成立
现再取a=35，b=91；而我们已知（35，91）=7，由定理关系计算：
   35÷91≡35
   91÷35≡21
   35÷21≡14
   21÷14≡7
   14÷7≡0，       此式余数为0，除数为7
                                       所述定理关系仍成立
                                             故定理1得证
定义2．最小公倍数
如a与b都是不为0的整数，存在一整数G是满足a│G，b│G的最小整数，我们称这时的G为a与b的最小公倍数。一般记作［a，b］=G；
最大公约数最小公倍数互为除商定理；
定理2．若a与b都是大于1的整数，如求得d是a和b的最大公约数，则有：
         ab ÷ d  =G
G是a与b的最小公倍数；
证：今任取a=33，b=1；我们已知［33，1］=33，已知（33，1）=1，由定理关系计算；
      （ 33 ×1）÷ 1  =33，
                                       故所述定理1关系成立
现取a=91，b=35；而我们已知［91，35］=455，已知（91，35）=7，由定理关系计算：
      （ 91×35）÷ 7 =455
                                       所述定理关系仍成立
现再取a=107，b=107；而我们已知［107，107］=107，已知（107，107）=107，由定理
关系计算：
      （ 107×107）÷ 107  =107
                                       所述定理关系仍成立
                                                故定理2得证
以上最大公约数、最小公倍数的定理使公约数、公倍数的计算脱离了因数分解的前提，借助于电子计算机的帮助，人类对最大公约数、最小公倍数的计算能力将发生质的飞跃。
应用方面的例子；
例1．判定29377^73+15与157^69+40互素否？计算10^12000－1和2^200+1的最大公约数？
解：（29377^73+15，157^69+40）= 1；
（10^12000－1， 2^200+1） = 40987201；
例2，求（3^700+75，93^400-3，10^200-9）的最大公约数？
解：
首先求：（3^700+75，93^400-3）=1014
再求：（1014，10^200-9）=13
所以得到：（3^700+75，93^400-3，10^200-9）=13
例3．求2^49+11554，3^34-13859968的最小公倍数？
解：
［2^49+11554，3^34-13859968］=159162452461556288935326
例4．求1977303，3^34-138，107^8+11的最小公倍数？
解：
首先求：［1977303，3^34-138］=10991947135431844338531
再求：［10991947135431844338531，107^8+11］
         =  62954038858473566633961279411243052524
所以得到：［1977303，3^34-138，107^8+11］
         =  62954038858473566633961279411243052524
最大公约数，最小公倍数定理的发现与实践应用，将使人类对大整数因数分解的能力得到极大的提升。

参考文献：
华罗庚数论导引6页，最大公约数及最小公倍数。

版权登记号：06—2006—A—01号

西河渔 · 发表于 2006-1-21 23:11

[这个贴子最后由西河渔在 2006/01/21 11:35pm 第 1 次编辑]

还"版权登记号';,若欧几里得地下有知,一定会状告你抄袭他在2000多年以前就已经得到了成果.哪一本初等数论教材上没讲这个方法?

zy1818sd · 发表于 2006-1-22 10:26

这是一个非常简单的事，如果你教学生，辗转相除法，带余除法，那就是前人的成果，你教学生末位相余定理，互为除商定理，那就是我的成果。后人的很多东西有时只比前人精炼一些。
我不知道你教不教学生，教末位相余定理，互为除商定理，五年级小学生十分钟就可学会应用计算。教辗转相除法，带余除法你试试看多长时间学生学会计算。
至于学生学什么方法学生自会选择，人们当然会选择简单实用的方法。简化程序提高效率就是成绩，
有一点必须说明，这个成果称不上创始性成果。
都是大饼，有李连贵大饼，有张三发大饼。你爱吃哪个呢？

西河渔 · 发表于 2006-1-22 12:24

[这个贴子最后由西河渔在 2006/01/22 00:30pm 第 2 次编辑]

最大公约数最小公倍数互为除商定理；
定理2．若a与b都是大于1的整数，如求得d是a和b的最大公约数，则有：
ab ÷ d =G
G是a与b的最小公倍数；
你看过一本专业初等数论书吗?你的这个所谓的"最大公约数最小公倍数互为除商定理"可是一般常识呀.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 西河渔 在时添加 -=-=-=-=-
另外,你是怎么证明这两个定理的?特殊总不能代替一般呀.

zy1818sd · 发表于 2006-1-22 17:24

既个然知道是常识，还叫我证明它怎么成立。你用哪个数证明它不成立，我立刻撤贴。
哪本书上都有公约数公倍数算法，你见哪本书上有这两个定理？会算和归纳为定理是两回事。我们祖先早就会算3^2+4^2=5^2的直角三角形边长，定理怎么叫毕哥拉斯定理呢？
注册商标和不注册商标就是不一样。

西河渔 · 发表于 2006-1-22 21:40

下面引用由zy1818sd在 2006/01/22 05:24pm 发表的内容： 既个然知道是常识，还叫我证明它怎么成立。你用哪个数证明它不成立，我立刻撤贴。哪本书上都有公约数公倍数算法，你见哪本书上有这两个定理？会算和归纳为定理是两回事。我们祖先早就会算3^2+4^2=5^2的直角三角 ...

1.我是要求你自己给出一个完整的理论上的证明.因为你的帖子中没有给出证明. 2.任何一本专业的初等数论教材中都有这两个定理极其证明.譬如说闵嗣鹤的<初等数论.. 3.我们现在所见的数学专业书中,有大量的定理都没有冠以名称,按你的话来说,这些都是没有注册的.你尽管抢着注册好了.

zy1818sd · 发表于 2006-1-23 22:45

[这个贴子最后由zy1818sd在 2006/01/25 07:22am 第 1 次编辑]

难得你的思维还停留在传统的理论思维上，你再看一看人类的数学工具库中出现了什么。
《两整数互素判定及最大公约数最小公倍数计算软件》——中国国家版权局计算机软件登记2005SR01900号。
你想算什么数，随你说吧？要相信中国人的能力。

zy1818sd · 发表于 2006-2-20 22:25

这个定理非常简单，但简单是好事。

zy1818sd · 发表于 2006-3-17 14:04

这两个定理的最大意义在于计算机运算。

珠穆亚纳 · 发表于 2006-3-17 17:30

继续从解决实际问题的角度发展,是楼主一系列探索的价值所在。
关于大合数分解问题,确实与这些论题有关.因此,这种研究是有意义的，因为大素数判定和大合数分解一直是发展很不平衡的两个侧面，可以参考我的《数论研究——跛腿的巨人》http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=144。

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