請教一題與循環小數有關的問題

pgcci7339

這題分母為61，光是1/61的循環節就有60個，真的只能用除法把這60個數找出來再觀察嗎？還是有什麼其他方法能做呢？請教大家，謝謝。

elim

elim

这个问题很有趣。各位数论爱好者也许有巧妙的解。希望分享。

王守恩

根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求： X /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知：04/61 = 0.  0      6      5     5  7 3 7 7........
可得：40/61 = 0.  6      5      5     7  3 7 7........
   即:    X = 40      d(36) = 9 - A = 9 - 7 = 2

luyuanhong

楼上 pgcci7339 的帖子和 elim、王守恩 的解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

pgcci7339

這題有兩個答案，(40,2)和(56,7)

王守恩

pgcci7339 发表于 2018-5-17 22:00
這題有兩個答案，(40,2)和(56,7)

嗨！此题还有2个答案！补上！
根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求： X /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知：04/61 = 0.  0      6      5     5    7 3 7 7........
可得：40/61 = 0.  6      5      5     7    3 7 7........
   即:    X = 40      d(36) = 9 - A = 9 - 7 = 2
根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求：  X  /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知：003/61 = 0.  0      4      9     1    8 0 3 2 7........
可知：300/61 = 4.  9      1      8     0    3 2 7........
可得：056/61 = 0.  9      1      8     0    3 2 7........
   即:    X = 56      d(36) = 9 - A = 9 - 2 = 7

elim

luyuanhong

谢谢楼上 elim 和 王守恩 的继续补充解答。

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pgcci7339

謝謝elim和王守恩的幫忙