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求助由点坐标求函数表达式

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发表于 2020-5-16 23:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
各位老师和朋友们,请帮忙看看如何做?不必完全等于实际,近似值就行,略小于实际,不能大于实际。谢谢!如下是问题:
求如下这些点的函数
(4,9),(5,28),(6,80),(7,221).
我弄的公式:b = 1.74136140824861 ^ (1.44 * a) - 1.74136140824861 ^ (a + 0.92)。
a依次输入4,5,6,7的值为:9.0903320129064,27.5776386262734,74.135055990122,187.135893810461
朋友的公式
y=0.1311exp(1.0653x)
您的公式的验证,依次输入4,5,6,7为9.294335344023,26.9694599213373,78.2575344579496,227.08062072062。最后一个值大于实际了。
7往后都大于实际了。
7往后的值分别是221,608,1694,4775,13606.
 楼主| 发表于 2020-5-20 18:04 | 显示全部楼层
谢谢老师!
1000000000000内的素数个数下限为 37476779131,实际10^12内的素数个数为37607912018,
还是下限,与实际有差距,所以前面的公式还需要进一步调整。
因为公式结果低于实际值,以下为实际点值(未去掉提前量的值):
(12,39141.0110953409),
(13,113518.448309902),
(14,331507.539035292),
(15,973817.648194232),
(16,2875202.63313653),
(17,8526702.130569),
(18,25385294.9975121),
(19,75836542.1953732),
(20,227252218.171467),
(21,682863854.846566),
(22,2057025628.49085),
(23,6210469059.53879),
(24,18788892908.8663),
(25,56950057419.9396),
不用从数学规律上推导公式,用数据说话,直接由数值点得到函数公式,居然很方便。

去掉提前量就是上面的值再加上4,如前面的第一个点变成了(12,39145.0110953409)。

用这些点能弄出来更准确的公式吗?我要的就是经验公式,不是要啥理论工具,要的准确的公式,起码在需要的数据段要非常准确,非常接近实际,以便方便的找到需要的素数。素数个数的绝对下限公式专家已经证明了,不需要另外搞个下限公式。

其实理论公式是这样的2*x^(1/2)+4*x^(1/4)+8*x^(1/8)+……,有几项也不知道,反正最后一项变为1或0为止了,这个怎么推?这就是前面的公式的理论依据,但太复杂没法推导,所以用数值法简单明了,不需要明白它是啥函数,只要结果准确就行,不需要管是否是在无穷大仍然成立,只要在我们需要的数据段准确就行了,这个已经是很不容易了,因为我们需要的是很大的素数。
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发表于 2020-5-17 08:30 | 显示全部楼层
y = ( 56 x^3 - 741 x^2 + 3367 x - 5142 ) / 6

x = 4 ,y = 9 。

x = 5 ,y = 28 。

x = 6 ,y = 80 。

x = 7 ,y = 221 。

x = 8 ,y = 507 。

x = 9 ,y = 994 。

x = 10 ,y = 1738 。

x = 11 ,y = 2795 。

x = 12 ,y = 4221 。
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 楼主| 发表于 2020-5-17 11:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 ysr 于 2020-5-17 03:12 编辑

非常感谢陆元鸿教授的精彩解答,我用了拉格朗日法很复杂没有推导出结果,此结果虽然低于实际,满足题目要求了。我再去试试,进一步提高精确度。
各位老师和朋友们,请帮忙看看如何做?不必完全等于实际,近似值就行,略小于实际,不能大于实际。谢谢!如下是问题:
求如下这些点的函数
(4,9),(5,28),(6,80),(7,221).
我弄的公式:b = 1.74136140824861 ^ (1.44 * a) - 1.74136140824861 ^ (a + 0.92)。
a依次输入4,5,6,7的值为:9.0903320129064,27.5776386262734,74.135055990122,187.135893810461
朋友的公式
y=0.1311exp(1.0653x)
您的公式的验证,依次输入4,5,6,7为9.294335344023,26.9694599213373,78.2575344579496,227.08062072062。最后一个值大于实际了。
7往后都大于实际了。
7往后的值分别是221,608,1694,4775,13606.
其实前面那些整数点并非都是整数,而是取消了小数部分,依次输入4,5,6,7对应的带小数的值为9.1950831715873,28.9888206573201,80.4899477790795,221.074445101172。
后面的依次是608.992317564808,1694.99578749547,4775.7128358109,13606.088463196。

谢谢陆教授!
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 楼主| 发表于 2020-5-18 08:47 | 显示全部楼层
我已经把陆元鸿教授的公式用于计算素数个数的程序,结果与实际非常接近,如下为结果:
10内的素数个数下限为 4,实际为4个。100内的素数个数下限为 22,实际为25个。
1000内的素数个数下限为 163,实际为168个。
10000内的素数个数下限为 1227,实际为1229个。
100000内的素数个数下限为 9564,实际为9592个。
1000000内的素数个数下限为 78463,实际为78498个。
10000000内的素数个数下限为 664561,实际为664579个。
(只用于10^7以内的数。)
大于10^7采用我们的近似公式:(下面的b1和b4,而b3为陆元鸿教授的)
b = Exp(1.033 * a)
b1 = 0.1578 * b
b3 = (56 * a ^ 3 - 741 * a ^ 2 + 3367 * a - 5142) / 6
b4 = (1.74136140824861 ^ (1.8 * a)) / 4.9
b5 = (b4 + b1) / 2

a依次输入7,8,9,10,11时b1,b4的平均值b5分别为219.664329196356,606.570528142824,1675.45599266651,
4629.29243022057,
12794.5765370479,(调整一下还能更接近实际。)
如下是利用这个公式得出的素数个数:
100000000内的素数个数下限为 5760140,实际为5761455.
1000000000内的素数个数下限为 50817717,实际为50847534.
1600000000内的素数个数下限为 79394377,实际为79451833个。10000000000内的素数个数下限为 454416615,实际为455052511.
100000000000内的素数个数下限为 4107923014,实际为4118054813.
160000000内的素数个数下限为 8972209,实际为8974458.
1900000000内的素数个数下限为 93475776。

谢谢陆教授,非常感谢!
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发表于 2020-5-18 13:18 | 显示全部楼层
下面是我写的一段程序(python),binom(n,k) 是组合数函数,
lap(L)是L氏插值函数. 代码和试用情况如下:
02.png
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 楼主| 发表于 2020-5-18 19:02 | 显示全部楼层
谢谢老师!这个是汇编语言?我看不懂。慢慢学习一下。
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发表于 2020-5-18 21:32 | 显示全部楼层
python 是近年来火起来的高级语言.多用于人工智能及数学计算.
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 楼主| 发表于 2020-5-19 08:31 | 显示全部楼层
谢谢老师!学习了,非常感谢!调整一下,可以达到非常接近实际的。
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 楼主| 发表于 2020-5-19 17:45 | 显示全部楼层
一个个递推下去?后一项都是接近实际而不是等于实际,答案是唯一的?用指数函数好,据函数性质可以调整,同过左右平移图像,上下平移,改变形状提高陡度,纵向拉伸横向拉伸等,使图像接近实际,达到非常接近实际的目的!完全等于实际的理论上0误差的公式是否存在?不知道,非常接近实际的公式是可以得到的。
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 楼主| 发表于 2020-5-20 08:14 | 显示全部楼层
由于当输入1时原公式的值是0,我们不从1开始是从4开始的,由于原公式是改进的,加了提前量4,若去掉这个提前量是否会好弄?请老师用下面的数据试试?
可以试试这几个数,重新做出个函数公式吧。就是(4,13),(5,32),(6,84),(7,225),(8,612)。
还有下面的数(9,1698),(10,4779),(11,13610).
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