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P在圆O内接四边形ABCD内,PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥CD,PH⊥DA,M,N是EG,FH中点,求证:MN≤OP

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发表于 2020-5-17 13:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
如图,设P是圆O的内接四边形ABCD内任一点,
自P分别作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥CD,PH⊥DA,
垂足依次为E、F、G、H,
M、N分别是EG、FH的中点,
求证:MNOP,当且仅当四边形ABCD是矩形时,等号成立。

sdx.png
 楼主| 发表于 2020-5-18 08:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxueren 于 2020-5-18 08:47 编辑

上述不等式是叶中豪老师提出来的。他还说,
这个不等式的背后是一个恒等式,它揭示了中点M、N的距离与AC、BD的乘积成正比。
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发表于 2020-5-18 22:45 | 显示全部楼层
老封四边形垂足定理2.gif

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感谢dlsh老师对老封不等式的复数证明,您的复数技术炉火纯青,与史勇老师各有千秋!   发表于 2020-5-19 06:42
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 楼主| 发表于 2020-5-19 06:43 | 显示全部楼层
sdx-2.png

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史老师理论太高深,不懂,他如何解决  发表于 2020-5-20 22:06
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 楼主| 发表于 2020-5-19 06:52 | 显示全部楼层
上海的李燕老师对上述问题也进行了卓有成效的研究:
对于圆内接四边形ABCD,P是其平面上一点,设E,F,G,H,I,J分别在AB,BC,CD,DA,AC,BD上,M,N,L分别是EG,FH,IJ中点,且APEHI,BPEFJ,CPFGI均共圆,则M,N,L共线。
这个问题需要用到我发现的一个引理,然后再用pascal来证。
当ABCD不共圆时,这个O点我已经研究并证明出来了,是6个特殊圆的交点。
设△BAD顺相似于△BQC,则△MNL∽△QCA,因此△MNL的形状始终不变.
为了解决上面一系列的问题,先来介绍我发现的一个很有用的引理:
“如图1,M,N,L分别是AD,BE,CF的中点,D关于BC中点的对称点是D',同理定义E',F',则M,N,L共线的充要条件是D'E'F'共线”
此引理不难证,只须注意到GD'=-2GM即可(其中G是△ABC的重心,同时也是△ADD'的重心),即MNL与D'E'F关于G位似.
这个引理是我以前在编题的时候偶然发现的,我觉得这应该是很有用的,因为它为证明中点共线提供了一种新颖的不容易发现的路子.
我以前还用这个引理将特殊点结合起来编出了几个比较复杂的题,同时,应用这个引理还能简单的解决一些问题,如图2,
证明Newton线定理,将△ABC看作基本三角形,DEF是其截线,D关于BC的中点的对称点是D',同理定义E',F',则显然D'E'F'
也是△ABC的一条截线,于是应用上述引理即得M,N,L共线,这样我们就极为简单的证明了Newton线定理.
ly.png
有了上面的引理,现在就来解决主帖所涉及到的一系列问题:
(I)如图,P是圆外接四边形ABCD(O)所在平面上一点,E,F,G,H,I,J分别在ABCD相应的边上,
且满足APEHI,BPEFJ,CPFGI均共圆,M,N,L分别是EG,FH,IJ的中点,求证:M,N,L共线.
证明:当P=O时,显然有M,N,L重合,结论成立;当P在(O)上时,则M,N,L是四条类似Simson线
围成的四边形的3条对角线的中点,因此根据Newton线定理即得M,N,L共线;
当P在其他位置时,以△IEF为基准,设G,H,J分别关于IF,IE,EF中点的对称点为G',H',J'.
则应用13L的引理得MNL∽G'H'J',设EH'与FG',IG'与EJ',FJ'与IH'分别交于Q,S,T.
通过简单的导角可得QIEF,SIEF,TIEF均共圆,即IEFQST六点共圆,因此再由Pascal定理得G'H'J'共线.
故M,N,L共线.
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 楼主| 发表于 2020-5-20 06:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxueren 于 2020-5-20 07:16 编辑

无标题.png
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发表于 2020-5-20 21:36 | 显示全部楼层

老师过奖了,谁都可以应用签名链接中的公式证明。△﹝AB×CD,AC×BD,AD×BC﹞什么意思?
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 楼主| 发表于 2020-5-22 10:17 | 显示全部楼层
谢谢老师光临敝帖!
△(AB×CD,AC×BD,AD×BC)表示以AB×CD、AC×BD、AD×BC为边构成的三角形。

点评

谢谢老师答复  发表于 2020-5-24 22:39
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