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D 是 ΔABC 的 BC 边上一点,ΔABD,ΔACD 内切圆相切,证明:D 是 ΔABC 内切圆的切点

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发表于 2020-5-20 07:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
过三角形顶点向对边一点连成的线段将三角形分成两部分,如果这两部分的内切圆相切,那么边上的这一点就是原三角形内切圆的切点。
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这是我昨天早上监考无聊想问题的推论,是不是历史上有的定理,没有就命名为"ccmmjj内切三角定理“,呵呵。

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  • · 好貼|主题: 366, 订阅: 6
 楼主| 发表于 2020-6-8 10:45 | 显示全部楼层
这个证明先要用以下引理:
         在△ABC中,内切圆切点D有性质 AB+CD=AC+BD,或AB-BD=AC-CD,或者若线段BC上有一点具有这个性质,那么,这一点就是三角形ABC的内切圆切点。
        这个结论是容易证明的,我就不证明了。

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 楼主| 发表于 2020-6-8 11:35 | 显示全部楼层
现在证明若是切点,则两圆相切。

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 楼主| 发表于 2020-6-8 11:46 | 显示全部楼层
最后证明若两圆相切,则D必是内切圆切点。
我们证明其逆否命题:若D非内切圆切点,则两圆必不相切。
证明:若D非内切圆切点,则根据引理,AC-CD不等于AB-BD,则设为b',则方程组
x+y=a          与   x+y=a          必不同解。
x-y=b                  x-y=b'
故两圆与AD切在不同位置,而两圆又分居AD两侧,自是相离状态,当然不相切。证明结束。
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发表于 2020-6-8 12:10 | 显示全部楼层
楼上 ccmmjj 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2020-6-8 18:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-8 18:49 编辑
ccmmjj 发表于 2020-6-8 11:35
现在证明若是切点,则两圆相切。

提个建议,这图有点瑕疵。
1,DG=DF=DE(DG,DF,DE好像不一样长)
2,G在圆心的连线上(G好像不在圆心的连线上)
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