球带猜想以及张式证法

zhangyd2007@soh

“球带猜想”以及张式证法
张彧典1   张利翀2
1、山西省阳泉市委党校盂县分校  2、大连市黑岛发电有限公司

摘要：作者把宽带覆盖球体表面的问题转化为覆盖过球体球心横截面-----圆的问题，并且运用映射理论把拉斯洛•菲杰斯•托特与姜子麟等人的宽带“交叉覆盖”转换成宽带“平行覆盖”，直观地证明了本文给出的两个不同含义的球带猜想的研究结果。
关键词：球带猜想，宽带，宽度，交叉覆盖，平行覆盖

一、球带猜想

球带猜想：假如给你一些彩带和一个地球仪，你发现每条彩带可以围住地球仪的部分区域；如果用它们将整个地球仪包裹，这些彩带的宽度加起来至少是多少？
1973年，匈牙利数学家László Fejes Tóth（拉斯洛•菲杰斯•托特）指出：半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖，所有区域的宽度总和的最小值是π。
2017年的一个下午，姜子麟同俄罗斯同事亚历山大 • 波利扬斯基（Alexandr Polyanskii）在闲聊过后，用半天时间破解了这个长达44年的数学难题。
至少是地球仪上赤道长度的一半——这是姜子麟给出的答案，也是他就球带猜想给出的通俗版解释。
二、        两个已知的研究成果【1】

1、Tarski的研究成果

László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中的一些其他问题也密切相关，这些问题已在20世纪就被解决，涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题（Plank Problem），涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽度和至少等于圆的直径。也就是说，没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用来覆盖圆盘。接着，Thøger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度。即  
Tarski证明了：一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2（即圆的直径）的条带完全覆盖。

2、姜子麟和 Alexandr Polyanskii的研究成果

姜子麟和 Alexandr Polyanskii 处理的问题有些不同，它涉及到用某类球带来覆盖一个单位球面。具体而言，每个球带都是球面与一个特定的三维板条的交集，其中板条是关于球心对称的夹在两个平行平面之间的空间区域。或者可以不用板条，而在球面测地线的度量空间里定义球带：一个在单位球表面的宽度为 ω 的球带，是距离大圆（球面上半径等于球体半径的圆弧）不超过 ±ω/2 的点的集合，测量点与点间距离的是连接它们的最短弧。数学家必须找到能覆盖单位球面的球带上的最小宽度和。因此，宽度测量方法不同于之前被解决的问题：它被定义为弧的长度，而不是平行线或面之间的欧几里德距离。
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姜子麟和 Polyanskii 所作出的证明是受到了 Bang 的启发，Bang 通过构造一个有限点集解决了用条带覆盖凸体的问题，该有限点集必有一个点不被任何条带覆盖。从某种意义上来说，无论是 Bang 还是姜子麟和 Polyanskii 都是通过反证法来证明的。在 Fejes Tóth 猜想的情况下，数学家假设完全覆盖球体的球带的宽度和小于 π，并试图得到矛盾点——即找到一个位于球体上的点，但又不在任何这些球带里。                                 
姜子麟和 Polyanskii 在三维空间中构造了一组特别的点集，使得至少一个点不在木板覆盖的区域内。如果这整个点集都位于球内部，那么在球面上找另一个没被木板覆盖、也就是没被球带覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外，则可以用一个较大的球带代替几个较小的球带，其宽度和与较大球带的宽度相等。因此，我们可以做到在不影响宽度和的前提下，减少初始问题中球带的数量。最终，球体上的某个点会被确定为不在这些球带内。这与球带总宽度小于 π 的假设背道而驰，因此证明了 Fejes Tóth 的猜想。


三、        张式证明

张彧典等人首先认为：在三维圆球的表面积公式S=4πR2中 ，包含通过球心截面----二维圆的面积πR2，所以，完全可以把三维的“球带猜想”演变成二维的“宽带覆盖圆猜想”。正如把立体几何问题演变成平面几何问题一样简单了。
张彧典等人接着，把姜子麟和 Polyanskii证明中的思路做了改变：
（1）、把5条等宽宽带的个数变成无限n条；
（2）、把n条宽带的宽度各不相同化；
（3）、把宽带的交叉覆盖垂直映射成平行覆盖。
证明：如图1所示，

                    图1

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在单位圆O中，设A1， A2 ，A3 ，… ，An ，An+1 ，为半圆弧上的n+1个分割点，
A1-An+1 为单位圆的直径，
弦A1 A2 ,A2 A3 ，… , An An+1表示n条宽带的宽度，Wi(i=1,2,3,…,n,n+i)表示n条关于圆心对称的宽带所交叉覆盖了的单位圆的面积 。
  那么，就有
A1 A2 ≥ A1 A2’ ，…，   A2 A3  ≥ A2’A3’ ，An An+1 ≥An’An+1 .                             
再设A1 A2’ ，  A2’A3’  ，… ，An’An+1为n条宽带宽度在直径上的垂直射影，
Wi’(i=1,2,3,…,n,n+i)表示n条垂直射影宽带所平行覆盖了的单位圆的面积。
那么，就有W1≥W1’， W2≥W2’，… , Wn≥Wn’.
这样一来，以A1 A2为宽度的宽带（平行虚线）W1 与 以A2 A3为宽度的宽带（平行点）W2的交叉覆盖圆，就会变成以A1A2’为宽度的宽带W1’ 与 以A2’A3’为宽度的宽带W2’的平行覆盖圆，…，直到以An An+1为宽度的宽带（平行小横线）Wn与前n-1条宽带的交叉覆盖圆，就变成以An’An+1为宽度的宽带Wn’ 的平行覆盖圆。
这时，n条宽度不尽相同却平行的宽带完成了单位圆O面积的全覆盖。
因此有：                                
如果计算n条宽带覆盖单位圆的总长度的话，那就是Tarski证明了的：
“一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2（即圆的直径）的条带完全覆盖”的定理成立：即
A1 A2+A2 A3 +… + An An+1  ≥ A1 A2’+A2’A3’ + ,.. + An’An+1=2R

如果计算n条宽带覆盖单位圆的面积的话，那就是姜子麟两人证明了的：
W1+W2+…+Wn +Wn+1≥ W1’ + W2’  + ,.. + Wn’ =πR2 =πx12=π。
以上两个结论中，当且仅当：整个圆周只被直径上的两个端点A1与An+1分割，即宽度恰好为直径A1An+1的一条宽带覆盖时，取等号。
如果有人怀疑以上降级证明的话，那么，可以把图1中的直径A1An+1看作地球赤道的半圆弧，把直径A1An+1对应的半圆弧看作垂直于赤道的最大截面圆的半圆弧，分割点A1，A2…， An分布其中，由此产生的n条平面宽带就可以看作圆弧状宽带了。这样的变换，就可以把降级证明还原为“球带猜想”证明了。
[注：图片无法看到时，可以到中国博士网数学论坛去看]
    参考文献
【1】44年前的一个数学猜想终被破解
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