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在四边形 ABCD 中,已知 ∠BAD=∠ABC=∠BDC 且 ∠CBD=∠BCD=50°,求证:AC⊥BD

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发表于 2020-6-13 22:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
如图,已知角BAD=角ABC=角BDC且角CBD=角BCD=50度. 求证:AC垂直BD.
1.png

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  • · 入先|主题: 10, 订阅: 0
发表于 2020-6-14 10:38 | 显示全部楼层
抛砖引玉!期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E,任意四边形,恒有:
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠EAB)/(sinEDC*∠sinECB*∠sin∠EBA*sin∠EAD)=1
记∠ECB=x,由下解得 x=40°
360截图20200614103541853.png
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 楼主| 发表于 2020-6-14 22:27 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-6-14 10:38
抛砖引玉!期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E,任意四边形,恒有:
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠E ...

想问问那条等式是怎样推出来的?
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发表于 2020-6-23 10:35 | 显示全部楼层
设AC BD .相交于0.设θ=∠DCA.利用已知条件解出70十30十θ=80十θ。θ=10度,∠CDB=80°。则在三角形DCOS 是直角三角形。证明完毕。
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发表于 2020-6-27 13:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-27 13:32 编辑
王守恩 发表于 2020-6-14 10:38
抛砖引玉!期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E,任意四边形,恒有:
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠E ...

没有其他解法吗?记AC,BD交点为E,
四边形ABCD面积=三角形ABD面积+三角形BCD面积
=AB*AD*∠sinBAD+DB*DC∠sinBDC
=sin70*sin30*sin80*+sin80*sin80*sin80*
四边形面积=AC*BD*∠sinBEC
=sin70sin80/∠sin(50+x)*sin80*sinx
解得 x=90
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发表于 2020-6-29 01:02 | 显示全部楼层
在四边形ABCD中,已知∠BAD=∠ABC=∠BDC且∠CBD=∠BCD=50°,求证:AC⊥BD.GIF

在四边形ABCD中,已知∠BAD=∠ABC=∠BDC且∠CBD=∠BCD=50°,求证:AC⊥BD.rar (38.83 KB, 下载次数: 1)
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发表于 2020-6-30 06:47 | 显示全部楼层

谢谢陆老师!这余弦定理应该怎样证明?
sin(A+B)^2=sin(A)^2+sin(B)^2+2sin(A)sin(B)cos(A+B)
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发表于 2020-6-30 12:22 | 显示全部楼层
证明一个三角公式[sin(A+B)]^2=(sinA)^2+(sinB)^2+2sinAsinBcos(A+B).GIF

证明一个三角公式[sin(A+B)]^2=(sinA)^2+(sinB)^2+2sinAsinBcos(A+B).rar (20.21 KB, 下载次数: 1)
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发表于 2020-7-1 08:02 | 显示全部楼层

利用三角函数解题(谢谢6楼陆老师的图)。
记∠ACD=10+x, ∠CAD=20-x, ∠ACB=40-x, ∠CAB=60+x
1,在三角形BCD中,
记BC=sin80,BD=sin50,CD=sin50
AB=sin50*sin70/sin80=sin80*sin(40-x)/sin(60+x)   (1)
AD=sin30*sin50/sin80=sin50*sin(10+x)/sin(20-x)   (2)
AC=sin80*sin80/sin(60+x)=sin50*sin150/sin(20-x) (3)
2,在三角形ABD中,
记AB=sin70,AD=sin30,BD=sin80
CB=sin80*sin80/sin50=sin70*sin(60+x)/sin(40-x)   (4)
CD=sin50*sin80/sin50=sin30*sin(20-x)/sin(10+x)   (5)
CA=sin70*sin80/sin(40-x)=sin30*sin150/sin(10+x) (6)
3,在三角形ACD中,
记AC=sin150,AD=sin(10+x),CD=sin(20-x)
BD=sin80*sin(10+x)/sin30=sin50*sin(20-x)/sin50    (7)
BA=sin70*sin(10+x)/sin30=sin150*sin(40-x)/sin80  (8)
BC=sin80*sin(20-x)/sin50=sin150*sin(60+x)/sin80  (9)
4,在三角形ACB中,
记AC=sin80,AB=sin(40-x),CB=sin(60+x)
DB=sin50*sin(60+x)/sin80=sin80*sin(40-x)/sin70    (10)
DA=sin30*sin(40-x)/sin70=sin80*sin(10+x)/sin150  (11)
DC=sin50*sin(60+x)/sin80=sin80*sin(20-x)/sin150  (12)
5,......
由(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),..中
任意一个都可得方程解:x=0
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发表于 2020-7-2 17:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 ywl 于 2020-7-2 09:32 编辑

注意,BD⊥AC的充要条件是:AD^2+BC^2=AB^2+CD^2利用余弦定理,证明将大大简化。
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