请看这道题用定积分计算结果为什么不相符？

wufaxian

请看下图。一个箱子在无摩擦平面。一个绳子与平面成 西塔 角 ，绳子一段连接在箱子上，另外一段通过无摩擦滑轮连接在一个重物上。重物产生5 的重力。重物开始下坠直到箱子滑动到平面右侧边缘。按理说下坠重物的势能损失应该等于对箱子做功。
下坠重物势能损失应该=mgh=5*（5-3）=10

对箱子做工应该=FS=5*（cos 西塔 的定积分）*4

从图中可以看出起始状态构成一个 勾三股四弦五的直角三角形，启动时：斯塔角的弧度是：0.6435011087932843 。终止时西塔交的弧度：Π/2=1.5707963267948966 在这个范围对cos 西塔求定积分。等于0.4000000000000001 。带入上面的公式：5*0.4000000000000001*4=8 这怎么和势能损失不一致呢？我的计算方法错在哪里了？

jzkyllcjl

我看了你的计算。箱子所受力是变力作功问题，不能你的算式 5*0.4000000000000001*4 。

wufaxian

jzkyllcjl 发表于 2020-7-10 10:04
我看了你的计算。箱子所受力是变力作功问题，不能你的算式 5*0.4000000000000001*4 。

谢谢你的回复。
在我头脑中，箱子所受的力确实是变力，且随西塔角变大，力变小。而且这种变化是非线性的。因此才要用积分。否则就用5*x 西塔就好了。
以上我的想法如果哪里错了。还请指出，谢谢！

jzkyllcjl

第一， 箱子位移为 S=4- 5 cosθ,  其微分是 5sinθdθ ;  箱子做功 W  为 变数θ 的函数，这个函数的微分 为 dW=5 cosθ× 5sinθdθ,  故 积分后 的  W=25×1/2×（1-9/25）=8,  
第二， 你算的下坠重物势能损失应该=mgh=5*（5-3）=10 是对的，不等于箱子做功 的原因，在于箱子移动时受下 边平面 的支撑，但根据你的条件，无法算出支撑面的做功。对此我只能表示遗憾。
以上两点仅供参考。

wufaxian

jzkyllcjl 发表于 2020-7-10 16:58
第一， 箱子位移为 S=4- 5 cosθ,  其微分是 5sinθdθ ;  箱子做功 W  为 变数θ 的函数，这个函数的微分  ...

1、箱子的位移是4，这是题目给定，无需计算。也不能修改题目。

2、根据给出的条件，支撑面做功为零。因为箱子在纵向没有位移

jzkyllcjl

楼主： 第一，你的题目 给定位移是4，但位移 是随θ 变化而变化的，我给出位移为 S=4- 5 cosθ，符合你的位移是4的条件。 你把拉力积分后乘4，不符合 变力做功 的条件。第二，虽然支撑面做功为零。因为箱子在纵向没有位移，但支撑面的支撑力引起的摩擦力 做了负功。

小fisher

F=5cosθ，S=3 * d(cotθ)/dθ=-1/(sinθ)^2，因此应该对-15cosθ/(sinθ)^2求积分

小fisher

小fisher

顺便说一句，如果把图中三角形的长直角边和短直角边互换一下，则重物势能损失=5*（5-4）=5，用上述方法计算出来对箱子所做的功为20*(1/(4/5)-1)=5，结果还是吻合的