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单调增大函数 f(x) 满足 f(1-x)=1-f(x),f(5x)=2f(x),求 f(0),f(1/5),f(x)=1/2 的解

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发表于 2020-7-24 07:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問代數

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发表于 2020-7-24 11:23 | 显示全部楼层
\(f(0)=2f(0)-f(0)=2f(0)-f(5\times 0)=\overset{(c)}{=}0.\)
\(f(1)=f(1-0)\overset{(b)}{=}1-f(0)=1\)
\(f(\frac{1}{5})\overset{(c)}{=}\frac{1}{2}f(1)=\frac{1}{2}\)
\(f(\frac{4}{5})=f(1-\frac{1}{5})=1-f(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\)

待续
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发表于 2020-7-25 19:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 小fisher 于 2020-7-25 20:15 编辑

(2) 由二楼结果可知\(f(\frac{1}{5})=f(\frac{4}{5})=\frac{1}{2}\)
对于任意m∈(0,1],有f(m)∈(0, 1],\(f(\frac{m}{5^n})=\frac{f(m)}{2^n}\)>0
\(f(\frac{1}{5}-\frac{m}{5^n})=\frac{f(1-\frac{m}{5^{(n-1)}})}{2}=\frac{1-f(\frac{m}{5^{(n-1)}})}{2}=\frac{1}{2}-\frac{f(m)}{2^n}<\frac{1}{2}\),同时\(f(\frac{4}{5}+\frac{m}{5^n})>\frac{1}{2}\)
因此\(f(x)=\frac{1}{2}\)的解集为\([\frac{1}{5}, \frac{4}{5}]\)
(3) 由\(\frac{1}{5}<0.446<\frac{4}{5}\)可知\(f(0.446)=\frac{1}{2}, f(11.15)=2f(2.23)=4f(0.446)=2\)
由\(\frac{1}{5}<\frac{625}{2016}<\frac{4}{5}可知f(\frac{625}{2016})=\frac{1}{2},f(\frac{1}{2016})=\frac{f(\frac{625}{2016})}{2^4}=\frac{1}{32}\)
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发表于 2020-7-25 20:50 | 显示全部楼层
谢谢楼上小fisher先生的解. 学习了
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发表于 2020-7-25 22:39 | 显示全部楼层
楼上 elim小fisher 的解答很好!已收藏。
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发表于 2020-7-25 23:07 | 显示全部楼层
不好意思,仔细考虑了一下,感觉“对于任意m∈(0,1],有f(m)∈(0, 1]“这个论断不严谨,相当于直接排除了x≠0但f(x)=0的可能性,修改如下:
类似于10进制的科学计数法,任意正实数R均可表示为\(m\times(5^n)\),其中m∈[1,5),由函数性质(a)可知:\(f(R)=f(m\times(5^n))\geq f(1\times(5^n))=f(1) \times 2^n=2^n>0 \),所以\(f(\frac{1}{5}-R)=\frac{f(1-5R)}{2}=\frac{1-f(5R)}{2}=\frac{1-2f(R)}{2}=\frac{1}{2}-f(R)<\frac{1}{2}\)
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发表于 2020-7-27 08:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-7-27 02:38 编辑

这个函数很有趣:

\(\,\forall x>0\,\exists\,n\in\mathbb{N}^+: (\frac{1}{5^n}\le x,\;f(x)\ge f(\frac{1}{5^n})=\frac{1}{2^n}>0)\)
对\(\,\frac{1}{5^{n+1}}< x<\frac{1}{5^n},\;f(\frac{1}{5}-x)\le f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})=\frac{1}{2}f(1-\frac{1}{5^n})\)
\(\quad=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})< \frac{1}{2},\;\;\therefore\;f(\frac{4}{5}+x)=1-f(\frac{1}{5}-x)>\frac{1}{2}\)
\(\therefore\;f^{-1}(\{\frac{1}{2}\})=[\frac{1}{5},\frac{4}{5}],\;\boxed{f^{-1}(\{{\small\frac{1}{2^n}}\})=[{\small\frac{1}{5^n},\frac{4}{5^n}}],\small\;n=1,2,\ldots}\)
于是\(\,f^{-1}(\{1-\frac{1}{2^n}\})=[1-\frac{4}{5^n},1-\frac{1}{5^n}],\)
\(\qquad f^{-1}(\{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})\})=[\frac{1}{5}-\frac{4}{5^{n+1}},\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}}]\)
\(\qquad f^{-1}(\{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2^n})\})=[\frac{4}{5}(1+\frac{1}{5^n}),\frac{1}{5}(4-\frac{1}{5^n})]\)
\(\qquad f^{-1}(\{\frac{1}{2^2}(1+\frac{1}{2^n})\})=[\frac{1}{5^2}(4-\frac{1}{5^n}),\frac{4}{5^2}(1+\frac{1}{5^n})]\)
\(\cdots\cdots\)

如此可知函数在[0,1]的一个可数两两不交的闭区间序列上取有理数值,这些区间的并的测度是多少?
更基本的问题是: 满足这组性质的函数是否存在? 或者说, 这组性质是否相容?
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发表于 2020-7-27 11:35 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2020-7-29 13:41 | 显示全部楼层
王守恩网友多日不见了, 永远也是。 这个题目王守恩或许会有兴趣?
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