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本帖最后由 春风晚霞 于 2024-4-26 16:11 编辑
单调递减集合列\(\{A_k=\{m|k<m\in N\}\)极限集的求法,
【证明】:根据e先生所给单调集合列的通项公式,我们有:\(A_1=\{2,3,4,5……\}\);\(A_2=\{3,4,5,6……\}\);\(A_3=\{4,5,6,7……\}\);……\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\)=\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n,n+1,n+2,n+3,……\}\);\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\)=\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,n+3,n+4……\}\);易证:\(A_1\supset A_2\)\(\supset A_3\)\(\supset ……\)\(\supset\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\)\(\supset\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\)。所以:
\begin{split}
\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞A_k&=A_1\bigcap A_2\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=(A_1\bigcap A_2)\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(求交运算结律)\\&=A_2\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap A_5\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(吸收律)\\&=(A_3\bigcap A_4)\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(求交运算结律)\\&=……\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,n+3,……\}≠\phi。
\end{split}
《发现春风晚霞先生老痴情况恶化的经过》
一、历史回顾
elim先生回忆道【老春头是2019年5月加入本论坛的. 那时他还不会 LaTex. 是我给他启的蒙.初来本版块, 他就开始了与 jzkyllcjl, 范副, 谢邪等人的辩论. 给我的感觉,他行文儒雅, 引用伟人古人语录很是娴熟,不过伤不到 jzkyllcjl 等人的要害。我也没太在意。】
二、对春风晚霞三个命题的质疑
1、凡极限存在,则必然可达
即\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow a_n=a(n→∞)\)(*)
现在我们证明(*)式成立:
①、【证明】(充分性)
因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\),所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε,当n∈\(\{n|n>N_ε,n∈N\}\)有\(\{n|n>N_ε,n∈N\}\)有\(a_n=a\).即\(当n→∞时a_n=a\).【充分性证毕】
②、【证明】(必要性)反证法
假设\(当n→∞时a_n≠a\),即n∈\(\{n|n>N_ε,n∈N\}\)时\(a_n≠a\),则必有|\(a_n-a\)|=α>0,取\(ε=\frac{α}{2}\),则|\(a_n-a\)|=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε,这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件,一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论,亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证毕】
综合(1)、(2)知(*)式成立
2、当(n→∞)时\(0.\dot 9\)∈\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)
【证明】因为康托尔基本有理序列\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)的通项为\(a_k\)=\(0.\overbrace{999……99}^{k个9}\),所以\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n\)=\(0.\overbrace{999……99}^{∞个9}\);所以当(n→∞)时\(0.\dot 9\)∈\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)
3、当(n→∞)\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)
【证明】因为康托尔基本有理序列\(\{1-\tfrac{1}{10^n}\}\)=\(\{0.9,0.99,0.999,…\)};\(\{1+\tfrac{1}{10^n}\}\)=\(\{1.1,1.01,1.001,……\}\)和\(\{1,1,1,……\}\)等价同类;根据康托尔实数定义(参见附图)这三个康托尔基本数列表示同一个实数(注意:在康托尔实数系中有理数和无理数统称实数);所以当(n→∞)\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)
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