判定梅森质数的卢卡斯序列

Treenewbee

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ... 的通解公式
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\[a_n=\frac{(22-37\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(22+37\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\]

Treenewbee

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ... 的通解公式
-------------------------------------------------------

\[a_n=\frac{(52-15\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(52+15\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-3-11 10:00
第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ... 的通解公式
---------------------------------- ...

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ... 的通解公式，
\(a_n=\frac{(48+5\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(48-5\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\)

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ... 的通解公式，
\(a_n=\frac{(52+15\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(52-15\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\)

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ... 的通解公式，
\(a_n=\frac{(52-15\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(52+15\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\)

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ... 的通解公式，
\(a_n=\frac{(48-5\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n}+(48+5\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n}}{4}\)

第1,2,3,4组可以统一用“爬楼梯”按钮，在这里：a(n)=2*a(n-1)+a(n-2)

这公式已经很好啦:  LinearRecurrence[{2, 1}, {a(1), a(2)}, n]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-12 09:20
这是判断定理吗

设 d 无 4k+3 的素因子，

\[4^2-17*1^2=-1\]

Treenewbee

\[33^2-17*8^2=1\]

蔡家雄

佩尔方程有解定理

设 d 无 4k+3 的素因子，

且 d 仅有 2 和 8k+5 的素因子，

则 \(x^2 - d*y^2= -1\) 有正整数解。


佩尔方程无解定理

设 d 无 4k+3 的素因子，

且 d 有 2 和 8k+1 的素因子，

则 \(x^2 - d*y^2= -1\) 无正整数解。

cz1

方程 a^4+b^4=c^3 无解，

蔡家雄

求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(n^2+(n+1)^2) -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

今天是国际数学日3月14日，推广此问题

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解，