判定梅森质数的卢卡斯序列

wlc1

用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

L10=34364841203322138619418743115873765462123577054323335876096309291544243702895478982366441534551280521718389831967797586021178653297458172303037282356434039143804027601512329179719508790441955489333092937858707770542247463250237583690584252963689090949876919630304726132682637425450939940601857
分解式不知。


但L10-1=
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*22783*22783*265471*265471*592897*592897*708158977*708158977*2543310079*2543310079*7897466719774591*7897466719774591*3189518664241171908122086254540573330590571001582647066998337896883829269869767656226311867586930045780304299428854121182553625229112794050212600794909498192736348741121

分解式中含11+8个2，是2024*256的倍数
1个素因子3，2个素因子7=L2^2，2个素因子97=L3^2，2个复合因子31*607=L4^2，2个素因子708158977=L5^2，
2个L6复合因子127*7897466719774591<16>
2个L7复合因子22783*265471*592897*2543310079<10>*220600496383<12>
2个L8复合因子113210499946729046527*71510428488234435849323250891975205208728978040847871

最后的复合因子除以220600496383<12>的平方等于
65540866262319628631514842389390759803411969389881136477976501337388943457809233753989070462233356749826995604666235819235975402229849151824396289
再除以113210499946729046527的平方等于
5113741382570891182220162712379998164291582315306026010208125142093034105020842492053862736280224565232641
开平方等于
71510428488234435849323250891975205208728978040847871素数

yangchuanju

L7=2011930833870518011412817828051050497=22783*265471*592897*2543310079*220600496383，四素因子1,2,4,5加1都是256的倍数，但第3素因子减1才是256的倍数；
L7-1=2011930833870518011412817828051050496
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607*708158977*708158977，是256*32的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2的倍数；

项    目        S1        S2        S3        S4        S5
因    子        22783        265471        592897        2543310079        220600496383
因子+1        22784        265472        592898        2543310080        220600496384
除以256        89        1037        2316.0078125        9934805        861720689
模256余        0        0        2        0        0

项    目        S1*S2        S2*S3        S3*S4        S4*S5       
因    子        6048225793        157396959487         1507920915908863        561055465883286944257
因子+1        6048225794        157396959488         1507920915908864        561055465883286944258
除以256        23625882.0078        614831873        5890316077769        2191622913606589626.0078
模256余        2        0        0        2       

项    目        S1*S2*S3        S1*S2*S4       
因    子        3585974927992321        15382513619404667647       
因子+1        3585974927992322        15382513619404667648       
除以256        14007714562470.0078        60087943825799483       
模256余        2        0       

项    目        S1*S2*S3*S4        S1*S2*S4*S5
因    子        9120246177404169233903359        3393390140058927623875340620801
因子+1        9120246177404169233903360        3393390140058927623875340620802
除以256        35625961630485036069935        13255430234605186030763049300.0078
模256余        0        2

对于五合数L7，其S1、S2、S4、S5加1是256的倍数，但S3+1不是256的倍数（模256余2）；
其中的两个加1是256倍数是素因子之积再加1便不是256的倍数；一个加1是256倍数的素因子与另一个加1不是256倍数的素因子（S3)之积再加1却是256的倍数；
三个素因子之积再加1，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便不是256的倍数；否则三个素因子之积加1便是256的倍数；
四个素因子之积再加1则相反，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便是256的倍数；否则四个素因子之积加1便不是256的倍数；
五个素因子之积再加1与三素因子之积相似（内含S3），不是256的倍数，但减1是256的倍数，即L7-1是256的倍数（实际是256*32的倍数）。

wlc1

用 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这八个数字任意排列组合成八位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

wlc1 发表于 2023-5-25 20:44
用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素 ...

10^7以内共有素数664579个，其中7位素数586081个；
在所有7位素数之中不含数字0,8,9的素数共58314个，其中7个数字和等于28的有6139个；
在数字和等于28的6139个7位素数中数字积等于5040的共有534个，它们即是wlc1老师所要求的素数！

yangchuanju

由1-7构成的不同数字的7位素数534个：
1234657
1245763
1246537
1246573
1247563
1254367
1254637
1256347
1257463
1263547
1264537
1264573
1265347
1275643
1276543
1324567
1342567
1342657
1345627
1354267
1356247
1356427
1362457
1425367
1426753
1427563
1427653
1435627
1436257
1436527
1452637
1453267
1463257
1465273
1476253
1476523
1524637
1524763
1532647
1546273
1546327
1562347
1563427
1564237
1572643
1574623
1576243
1624573
1625347
1632457
1634257
1645327
1647253
1647523
1652347
1653427
1672453
1674523
1725463
1726453
1742563
1752643
1764253
2136457
2143567
2145763
2146357
2153647
2156437
2163547
2176543
2315647
2341567
2345617
2347561
2354167
2364517
2365471
2375641
2376541
2413657
2431657
2436517
2436571
2451367
2451637
2456371
2456731
2457361
2457613
2467351
2475163
2476351
2516473
2534671
2536147
2537461
2543617
2546317
2547361
2547613
2547631
2561743
2563147
2563417
2576341
2613547
2631457
2634517
2637451
2637541
2641357
2645371
2647531
2651437
2651743
2653741
2654317
2654371
2657143
2657341
2674513
2674531
2714563
2716453
2716543
2734561
2735641
2736451
2741653
2743561
2745361
2754361
2761453
2761543
2765143
3124567
3124657
3126457
3126547
3145627
3152467
3154267
3156427
3165427
3214567
3214657
3215467
3216457
3241657
3245761
3246157
3246751
3251467
3254761
3256417
3256471
3257641
3261547
3264571
3265741
3412567
3412657
3415627
3421567
3421657
3427561
3451627
3452671
3456127
3456217
3456721
3457261
3461257
3462517
3462751
3465271
3467251
3467521
3475261
3512647
3514267
3516427
3524617
3526147
3526741
3542167
3542761
3546271
3546721
3561247
3562417
3574621
3576421
3612457
3612547
3624157
3627451
3642157
3642571
3672451
3672541
3674521
3675241
3725461
3742561
3746521
3752641
3756241
3756421
3765241
4125637
4125673
4126537
4127653
4135627
4152763
4157623
4165327
4167523
4172653
4175263
4176253
4213567
4216573
4216753
4231567
4235761
4253167
4253617
4253671
4257163
4257613
4261357
4263157
4265137
4265713
4265731
4267531
4271563
4276513
4312657
4321657
4325617
4326571
4356217
4356721
4361257
4362751
4365271
4372651
4375621
4513627
4516327
4521367
4521637
4523671
4526371
4527361
4537261
4561237
4561327
4561723
4562317
4562731
4563127
4563217
4563271
4567231
4571263
4572163
4621537
4625713
4631527
4637251
4652173
4652317
4657123
4657321
4672531
4675123
4712563
4716253
4721653
4723561
4725613
4725631
4732561
4752361
4765213
5123467
5126347
5126437
5136427
5142637
5143267
5146237
5162473
5162743
5164273
5164723
5172463
5176243
5214367
5214637
5214763
5216473
5231647
5234167
5236741
5237641
5241673
5243167
5243761
5246173
5246713
5247163
5261743
5263417
5264137
5264173
5267341
5267413
5271463
5274163
5274631
5276431
5312467
5321467
5321647
5327461
5341627
5342167
5342761
5346127
5347621
5361247
5364127
5367421
5376421
5421673
5421763
5423167
5423617
5426173
5426371
5426713
5431627
5436127
5436217
5436271
5436721
5461273
5461723
5462137
5462173
5463217
5463721
5472613
5472631
5473261
5476213
5614327
5621437
5624137
5624317
5624713
5627143
5631427
5632741
5634217
5634721
5641327
5643217
5647231
5647321
5672341
5672413
5674231
5723461
5724163
5724613
5726143
5726341
5734621
5742361
5742631
5746123
5746231
5761423
5762143
5762413
5763421
6124753
6134257
6142573
6145273
6145327
6145723
6152743
6154273
6154723
6174253
6175243
6175423
6214357
6214573
6214753
6215347
6217543
6234517
6235147
6235417
6235741
6241537
6243157
6245731
6251347
6251743
6257143
6257431
6274531
6275341
6312547
6321457
6325471
6342157
6342517
6345127
6345271
6345721
6347521
6352147
6352741
6354217
6415237
6421573
6423517
6423751
6435127
6435721
6437521
6451723
6452137
6453721
6457123
6472351
6472513
6473251
6475321
6512347
6512437
6513427
6514327
6524137
6527413
6541723
6542713
6543127
6547213
6572143
6572413
6572431
6574231
6714523
6724351
6725143
6732541
6734521
6745231
6751243
6754213
7124653
7125463
7126453
7126543
7142563
7145623
7152643
7164253
7165423
7215643
7216453
7216543
7234651
7245361
7246513
7253461
7253641
7256341
7264351
7264513
7264531
7324561
7324651
7352461
7354261
7356421
7362541
7412563
7412653
7415623
7421563
7425361
7425631
7426351
7432651
7435621
7451263
7451623
7452163
7456231
7456321
7462513
7514623
7524631
7526143
7536241
7536421
7541623
7542163
7546321
7561423
7562341
7562413
7562431
7564231
7621543
7624531
7625143
7625341
7641253
7642513
7652413

yangchuanju

以卢卡斯序列的L7为例，L7共含5个素因子，5个素因子模256分别余-1，-1，+1，-1，-1；
令5个素因子分别等于256k1-1，256k2-1，256k3+1，256k4-1，256k5-1；
S1*S2=256^2*k1*k2-256k1-256k2+1，S1*S2模256余1，S1*S2+1模256余2不是256的倍数；
S1*S3=256^2*k1*k3-256k1+256k3-1，S1*S3模256余-1，S1*S3+1模256余0是256的倍数；
其余2-4个素因子积与此类似。负负相乘为正，正负相乘为负；负负负相乘为负，正负负相乘为正；负负负负相乘为正，正负负负相乘为负；……
相乘为负时积加1可被256整除，相乘为正时积加1不能被256整除！

对于卢卡斯序列L2=7、L3=97、L5=708158977都是素数，加1，减1，减1分别是8,16,64的倍数；
L4、L6都是二合数，两对素因子模32或128都余-1，相乘即L4和L6模32或128都余1，减1分别是32,128的倍数；
L8是一个三合数，三素因子模512分别余-1，-1，+1，负负正相乘为正，L8-1是512的倍数；
L12是一个三合数，三素因子模8192分别余-1，-1，+1，负负正相乘为正，L12-1是8192的倍数；
已知L9含两个模1024余1的素因子和一个模1024余1的复合因子，正正正相乘为正，L9-1是1024的倍数；
……
进一步分析L2+1=7+1=8是8的倍数；
L3-1=97-1=96是16*2的倍数；
L4-1=18817-1=18816是32*4的倍数；
L5-1是64*8的倍数；
L6-1是128*16的倍数；
L7-1是256*32的倍数；
L8-1是512*64的倍数；
L9-1是1024*128的倍数；
L10-1可能是2048*256的倍数；
L11-1可能是4096*512的倍数；
L12-1可能是8192*1024的倍数；
……
请注意：L2是加1，其余的是减1。为什么？欠理论上的证明！

类似地，Ln的各个素因子有的模2^(n+1)余-1，有的余+1，有何规律？
同样欠理论上的证明。

yangchuanju

wlc1 发表于 2023-5-26 05:19
用 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这八个数字任意排列组合成八位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个 ...

满足wlc1老师要求的8位素数可以按首位是2,3,4,5,6,7,8,9的分别计算（寻找），其中首位是9的296个；
其余同样可求（略），总数估计为2400左右。

素数
92345867
92356487
92365487
92385647
92435687
92435867
92438657
92457683
92463587
92475863
92486573
92543687
92546837
92547683
92547863
92548763
92563847
92564387
92564873
92567483
92567843
92587463
92635847
92643857
92645873
92648537
92658437
92674583
92674853
92684573
92685473
92746853
92756843
92786543
92834657
92843657
92845367
92845637
92847563
92847653
92853647
92854367
92854763
92856437
92856473
92863457
92864537
92865347
92874563
92876453
92876543
93254867
93256847
93258467
93265847
93284657
93286547
93425867
93426587
93456287
93456827
93462857
93468257
93482567
93482657
93485627
93524867
93528647
93548627
93562487
93568427
93584627
93658247
93684527
93825467
93842657
93862547
93864257
93864527
94236587
94238657
94253867
94256837
94258673
94265387
94265837
94285637
94287563
94287653
94325687
94325867
94326587
94326857
94362857
94365287
94385267
94527683
94532687
94562837
94562873
94563827
94582637
94582673
94583267
94586273
94625387
94625873
94627853
94653827
94658237
94658273
94658327
94672583
94675283
94683527
94752683
94762853
94768253
94823567
94823657
94825763
94827563
94835267
94835627
94836257
94852763
94865273
94865327
95236487
95236847
95246387
95247863
95264387
95264837
95268347
95268473
95278643
95286743
95342867
95426783
95436287
95438267
95468237
95478263
95624387
95624783
95627843
95628347
95634827
95638247
95643287
95647283
95648327
95648723
95672483
95678423
95682473
95684273
95684327
95684723
95687243
95728463
95742863
95762483
95768243
95768423
95824367
95826473
95826743
95827643
95836427
95842367
95863247
95864723
95872643
95874263
95876423
96248573
96258347
96274583
96274853
96275843
96278543
96284537
96324587
96324857
96345287
96384527
96425873
96428357
96438257
96458273
96458723
96472853
96478253
96482357
96482753
96485273
96485327
96485723
96487253
96524837
96528347
96528743
96534827
96542387
96543287
96548327
96548723
96574823
96584237
96584723
96587243
96587423
96724853
96725843
96748523
96758243
96785243
96823457
96824573
96825347
96825437
96825473
96827453
96827543
96842573
96845327
96847253
96852473
96854273
96854327
96874523
96875423
97256483
97256843
97258643
97268453
97284563
97284653
97425683
97462583
97468523
97526483
97546283
97548263
97548623
97564823
97586243
97624853
97625483
97645283
97652843
97684253
97824563
97824653
97826453
98235647
98236547
98243657
98246573
98257463
98263457
98263547
98267453
98274563
98275643
98324657
98345627
98352467
98362547
98364257
98364527
98365427
98425637
98425673
98452637
98453627
98456273
98456723
98462537
98463257
98463527
98465273
98536247
98543267
98547263
98564273
98574263
98576243
98623457
98625437
98642573
98645273
98653427
98745623

蔡家雄

由 235057 是素数，

且 235057^25*2^32+1 是素数，

则 10 是素数 235057^25*2^32+1 的原根。

这个素数的（原根）测试，

10^(235057^25*2^32/235057) 模素数 235057^25*2^32+1 的余数 不等于1，

10^(235057^25*2^32/2) 模素数 235057^25*2^32+1 的余数 不等于1，

则 10 是素数 235057^25*2^32+1 的原根。

ysr

蔡家雄 发表于 2023-5-26 10:31
由 235057 是素数，

且 235057^25*2^32+1 是素数，

10^(235057^25*2^32/235057) 模素数 235057^25*2^32+1 的余数 =  803266131561295181078312369376924054219200857316913352485598395380004321167966055283766845396897059454870588449345979739370351423419779445100161

10^(235057^25*2^32/2) 模素数 235057^25*2^32+1 的余数=  817127048116418243362883178940982315192105297511509323792329373145050252502513415168655584964367843990255261133459167624027678806509434146127872